数值计算引论(第二版)三四五章习题解答

数值分析引论 第二章答案

第三章习题解答

思考题

1.

（a）仅当稀疏矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失 败。×

（b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 ×

（c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 ×

（d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 × （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。√

（f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。√

（g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 × （h）奇异矩阵的范数一定为零。 ×

（i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。√

（j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。√

数值分析引论 第二章答案

2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有 什么优点？ 解答： 区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为 主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。

优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。

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4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？

（a）矩阵的行列式小； （b）矩阵的范数小； （d）矩阵的条件数小 （e）矩阵的条件数大

（c）矩阵的范数大；

解答： （e）矩阵的条件数大

（f）矩阵的元素小

矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值 的模，那么这个矩阵就接近奇异。

矩阵的条件数定义为 cond ( A) A A 1 当我们选取

A2

max ( AT A) cond ( A) 2 min ( AT A)

因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。

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8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比

（a）它们的基本差别是什么 （b）哪种方法更适合并行运算 （c）哪种方法更节省存储空间 （d）Jacobi方法是否总是更快

解答：

（a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi

（c） Gauss-Seidel

（d）否

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习题

2 1 1 2 1 4.考虑矩阵 A 1 2 1 1 2

，试求A的Cholesky分解。

解答： 方法1： Matlab运行

R= 1.4142 0 0 0

R=chol（A）

0 -0.8165 1.1547 0 0 0 -0.8660 1.1180

-0.7071 1.2247 0 0

方法2： 利用Cholesky定义求解

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6.矩阵

1 2 2 2 1 1 A1 1 1 1 , A2 2 2 2 2 2 1 1 1 2

证明：求解以 A 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而Gauss1 Seidel方法是发散的；求解以 A2 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代 收敛，而Jacobi方法是发散的。 解答：

A1 ：Jacobi迭代

0 2 2 B I D 1 A 1 0 1 2 2 0

( B) 0 1

Gauss-Seidel迭代

0 2 2 M ( D L) 1U 0 2 1 0 0 2

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