非齐次泊松过程与复合泊松过程

非齐次泊松过程与复合泊松过程

非齐次泊松过程 复合泊松过程主讲人：崔东旭 制作人：崔东旭 高旭 刘涛 2012.11.021

非齐次泊松过程与复合泊松过程

一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程

三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程

非齐次泊松过程与复合泊松过程

一、泊松过程的定义泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。

非齐次泊松过程与复合泊松过程

一、泊松过程的定义泊松过程是由法国著名数学家泊松(Poisson, Simeon-Denis)(1781—1840)证明的。 1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用 了这一过程。 辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发 展了它。

非齐次泊松过程与复合泊松过程

二、齐次泊松过程1.齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)≥0}为具有参数λ>0的泊松过程， 若它满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶在任意长度为t的区间内，事件A发生的次数服 从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s ,t≥0,有 ( t ) n P{X(t+s) -X(s)=n}= e- t ,n=0,1,2…

n!

非齐次泊松过程与复合泊松过程

二、齐次泊松过程解释： 独立增量过程：是指在每一个时间段内事件A发生的次数 是相互独立的。 平稳增量过程：是指计数过程N(t)在(t,t+s) 内(s>0),事件A 发生的次数N(t+s)-N(t) 仅与时间差有关，而与时间段的起 始时间无关。 因此，齐次泊松过程是平稳增量过程且E [X(t)]= λt。

E[ X(t)] 由于λ= 单位时间内事A发生的平均个数， t故称为此过程的速率或强度。6

非齐次泊松过程与复合泊松过程

二、齐次泊松过程齐次泊松过程的解释： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它 满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) -X(t)=1}=λh+o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。7

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程

例: 设电话总机在早晨8时接到的电话呼叫数为20 个；8时至11时接到的电话呼叫数线性增加，接 到的电话呼叫数为50个;11时至15 时保持平均到 呼叫数不变; 15时到18时接到的电话呼叫数线性 下降,到18时为20个。接到的呼叫在不相重叠时 间间隔内是相互独立的,求9时至11时有30个呼 叫数的概率

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程

从这个例子可以看出，它符合泊松过程，即符合独立 增量过程，且在充分小的时间间隔内，最多只有一个 事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。 但是，和齐次泊松过程比有一个条件变了，λ不再是 常数了。 在齐次泊松过程的讨论中，由于对齐次过程做了时齐 的假设，其均值函数 E(Xt)=λt 与t成正比，

但是现实生活中不可能所有的事情都按齐 次泊松过程发生，因此引入了非齐次泊松过程。9

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程非齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次 泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h+o(h), P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变 化。 10

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程

首先，X(t)不再是平稳增量过程。也就是说， 计数过程N(t)在(t,t+s)内(s>0),事件A发生的次 数N(t+s)﹣N(t)不仅与时间差有关，而且还与 时间段的起始时间有关。 其次，定义公式里不再是泊松过程的强度λ, 也就是说数学期望不再是E[ X(t)]= λt,而出现 了λ(t),叫做强度函数。 t 因此，引入累积强度函数的概念: ( x) (t )dt011

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处： 在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的 强度为λ,因此，在(s ,t+s)内，其均值为λt。 在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ(t),因 此： s 在(0 ,s)内，均值为Λ(x)= 0 (t )dt 在(0 ,t+s)内，均值为：Λ(t+x)=

t s +

0

(t )dt

因此，在(s ,t+s)内，均值为Λ(t+x)-Λ(x)=

t s +

s

(t )dt

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程在齐次泊松过程中，事件A在(s ,t+s)内发生n 次的概率P为： ( t ) n e- t P{X(t+s) –X(s)=n}= n ! ,n=0,1,2… 其中，t为数学期望，即均值。 因此，可以想象，在非齐次泊松过程中，事件 A在(x ,t+x)内发生n次的概率P为：

( ( t x)- ( x)n -[ ( t x)- ( x) + ) + ] e P= n!13

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程证明：对t≥0,h﹥0及非负整数n, 定义 pn (h, t ) p( X t h - X t n) 则由独立增量性和和非齐次泊松过程的定义知， 对任意s﹥0,有

p0 (h s, t ) p( X t h s - X t 0) p( X t h - X t 0) p( X t h s - X t h 0) p0 (h, t )[1- (t h)s - o(s)]14

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程于是

p0 (h s, t ) - p0 (h, t ) - p0 (h, t )[ (t h)s - o(s)] p0 (h, t ) - (t h) p0 (h, t ) h4.1

用s除上式两端，并令s→0得

由非齐次泊松过程的定义知，以上偏微分方程满 4.2 足下列初始条件 p0 (0, t ) 115

非齐次泊松过程与复合泊松过程

三、非齐次泊松过程利用初始条件(4.2)式，对(4.1)积分得

t p0 (h, t ) e-

t h

( x ) dx

e

-[ ( t h )- ( t )]

4.3

对于n≥1,由独立增量性和非齐次泊松过程的定义 知，对任意s﹥0,有