【优化方案】2014届高考数学 4.3 和、差、倍角的三角函数课时闯

来源：网络收集时间：2026-05-26

导读： 4.3 和、差、倍角的三角函数课时闯关（含答案解析）一、选择题 3 ，则cos 2α3 1．(2012高考大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝( ) A5 3 B．－59 C. 59 53 解析：选A.法一：∵sin α＋cos α＝ 33 ∴(sin α＋cos α)2 ＝13， ∴2sin αcos

4.3 和、差、倍角的三角函数课时闯关（含答案解析）

一、选择题

，则cos 2α3

1．(2012·高考大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝( )

B．－59

53 解析：选A.法一：∵sin α＋cos α＝

33 ∴(sin α＋cos α)2

＝13，

∴2sin αcos α23，即sin 2α＝－2

又∵α为第二象限角且sin α＋cos α3

>0， ∴2kπ＋π2<α<2kπ＋3

π(k∈Z)，

∴4kπ＋π<2α<4kπ3

(k∈Z)，

∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin2

2α＝－53

. 法二：由sin α＋cos α＝

33两边平方得1＋2sin αcos α＝13

∴2sin αcos α2

∵α为第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0，

∴sin α－cos α＝sin α－cos α

＝1－2sin αcos α＝15

sin α＋cos α＝3

3，6，由 sin α－cos α＝15

3－15

sin α3得 cos α＝

∴cos 2α＝2cos2

α－1＝－

. 2．(2013·潍坊模拟)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( A31

2 B．－2C.132 2

解析：选C.原式＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°

)

＝

π2

3．cosπ的值是( )

5511A. 421CD．1

1ππ2π

解析：选A.原式＝π5552sin

12π2141＝＝π55π544sin55

1－tan

4．(2013·浙江五校联考)若cos α，α是第三象限的角，则＝( )

5α

1＋tan

A．2 21

C．－2 D．－2

解析：选C.依题意得sin α

ααα1－tancos－sin

222

则＝ααα1＋tan＋cos

222

αα sinα＋cosα 2222 cos α ＝＝1＋sin α sinαcosα2

22 45＝2，选C.

315

5．(2012·高考四川卷)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝(

)

A.C.310

10 10

55 1015

解析：选B.法一：由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，

∴CE5，则sin∠CEB＝

，cos∠CEB＝. 55

而∠CED＝45°－∠CEB，

∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)

＝∠CEB－sin∠CEB) 2

1 2 210＝＝. 2 55 10

法二：由题意得ED2，EC1＋25.

在△EDC中，由余弦定理得

CE2＋DE2－DC23

cos∠CED＝10，

2CE·DE10

又0<∠CED<π，

310 2＝10∴sin∠CED1－cos∠CED1－ 10

二、填空题

π3

6．若sin(＋θ)＝，则cos 2θ＝________.

25π33

解析：由sin(θ)＝cos θ＝，

255

3272

则cos 2θ＝2cosθ－1＝2×()－1＝－.

525

答案：－

1＋tan α1

7．如果＝2 013＋tan 2α＝________.

1－tan αcos 2α

1＋tan α

解析：因为2 012，

1－tan α

11sin 2αsin α＋cos α所以＋tan 2α＝ cos 2αcos 2αcos 2αcosα－sinαsin α＋cos αtan α＋1＝2 013. cos α－sin α1－tan α答案：2 013

1cos 2α π 8．(2011·高考重庆卷)已知sin α＝cos α，且α∈ 0，，则2 2π sin α－4

值为__________．

解析：由sin α＝＋cos α得sin α－cos α

∴(sin α－cos α)＝1－2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝.

cos 2αcosα－sinα∴＝2(sin α＋cos α)，

π2 sin α－ 4 2sin α－cos α)

而(sin α＋cos α

)2＝1＋2sin α

cos α＝，

π714

又∵0<α<，∴sin α＋cos α.

222答案：－

14 2



三、解答题

9．求函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的最大值和最小值．

解：令sin x－cos x＝t，t＝2sin(x，

4ππ3π2π

－≤x－≤x－ 44424

得t∈[－12]，

1－t1－t121

sin xcos x＝y＝t＋＋t＋，

2222

对称轴t＝1，当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.

ππα2α

10．已知0＜α0＜β＜，且3sin β＝sin(2α＋β)，＝1－tan，

4422

求α＋β的值．

α2tan

2α12α

解：由4tan＝1－tan得tan α＝.

2222α

1－tan

由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．得tan(α＋β)＝2tan α，∴tan(α＋β)＝1.

πππ

又∵0＜α0＜β＜0＜α＋β442π

∴α＋β＝.

π 11．(探究选做)已知α为锐角，且tan α ＝2. 4

(1)求tan α的值；

sin 2αcos α－sin α(2)的值．

cos 2α π 1＋tan α，

解：(1)因为tan ＋α ＝

4 1－tan α

1＋tan α2，即1＋tan α＝2－2 tan α，

1－tan α

所以tan α3

sin 2αcos α－sin α2sin αcosα－sin α＝

cos 2αcos 2α

sin α2cosα－1sin αcos 2α＝＝＝sin α.

cos 2αcos 2α

因为tan α

所以cos α＝3 sin α，

1222

又sinα＋cosα＝1，所以sinα＝，

又α为锐角，所以sin α＝

10 10

sin 2αcos α－sin α10所以.

cos 2α10

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