从几道概率问题的错解谈概率的教学建议

1 从几道概率问题的错解谈概率的教学建议 浙江省湖州中学 李连方（313000）

概率是对随机现象的统计规律进行研究的数学科学，在研究方法上与以往学习的定性数学有所不同，而新教材对概率中的有关概念的描述过于通俗、直观和自然，导致对有些概念描述得不完整，使学生在初次学习概率时往往会感到不适应、理解不透彻，结果导致种种的错误。下面笔者通过对几道题目错解的辨析来谈谈概率教学的几点建议。

问题1（2005年10月湖北大学《中学数学》）设棋子在正四面体BCD A -的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的。现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动。若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，则棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置在顶点A 。若投2次骰子，棋子才到达顶点B 的概率是多少？投n （1≥n ，且N n ∈）次骰子呢？

原解：设投n （1≥n ，且N n ∈）次骰子，棋子才到达顶

点B 的概率为n a ，那么棋子没有到达顶点B 的概率为n a -1，

所以投1+n 次骰子，棋子才到达顶点B 的概率为

)1(31211n n a a -??=+，∴)7

1(61711--=-+n n a a ，又∵611=a ，∴42

1711=-a ∴数列??????-71n a 是以421711=-

a 为首项，公比为61-的等比数列。 ∴1)61(42171--?=-n n a 即n n a )61(7171-?-=，36

52=a 。 辨析：原解中错误的原因是混淆了对立事件的概念。事实上，若投n （1≥n ，且N n ∈）次骰子，若事件“棋子才到达顶点B ”的概率为n a ，则其对立事件的概率不为n a -1。由于棋子没有到达顶点B 的事件中既包含有前n 次均未到达顶点B ，也包含有第k （n k <）次到达了顶点B ，其后只要骰子投出的点数是奇数，棋子仍然在顶点B 处，所以投1+n 次

骰子，棋子才到达顶点B 的概率为1+n a 就不等于

)1(3

121n a -??。 正解：直接解之，由题意可知，前1-n 次棋子只能在A 点处或D C 、点处，在第k （11-<≤n k ）次到第1+k 次的变化中，棋子变化的情形有不动和移动到另两个顶点（始

终保持在A 、C 、D 三点处），其中不动的概率为21，移动的概率为3

221?。故前1-n 次的概率为1)3

22121(-?+n ，而第n 次再使得投出的点数为偶数，从而使棋子从C A 、或D 点处移动到B 点处，因此在第n 次在B 点处的概率为3121)322121(1???+=-n n a 。可验证当2,1=n 时与原解中的答案一致，但当3≥n 时，就不同了。

问题2（北京海淀区2005年模拟）甲、乙两个围棋队各5

名队员按事先安排好的顺序

2 进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者淘汰，然后负方的2号队员再与对方的胜者再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员是实力相当，求甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率。

原解：首先计算比赛结束的不同方式，可分甲获胜和乙 获胜。若甲获胜，则甲方的5名选手共获胜的局数为5场，则命题转化为不定方程554321=++++x x x x x 的非负整数解，

则有49C 种情形，同理若乙获胜也有49C 种情形。若甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙 方，则可转化为不定方程44321≤+++x x x x 的非负整数解，则有483334353637C C C C C C =++++种情形，所以甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙 方的概率为18

524948==C C P 。（注：此种解法是笔者根据其给出答案推测的。） 辨析：原解中错误的原因是混淆了等可能事件的概念。比赛结束的情形中，包含有实际

的比赛场次只进行了98765、、、、

等五种不同的比赛情形。这几种情况并非是等可能事件。 正解：因为每个队员是实力相当，所以甲（乙）每个队员胜的概率是2

1 ，对于每一种满足甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率为9

)21

(，这样的情形共有48C 种，因此所求的概率为948)21(C 。

问题3（2005年湖北高考文科第21题）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为1p ，寿命为2年以上的概率为2p 。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率。 原解：（1）略；

（2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为21)1(p -；在第一次不更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为)1(21p p -，故所求的概率为)1()1(2121p p p p -+-=。

辨析：该解答中的（2）的答案是错误的，它混淆了独立事件的概念。在第二次灯泡更换工作中，具体对于某盏灯泡来说，应分为“第一、二次都更换”、“第一、二次都不更换”、“第一次不更换灯泡而在第二次更换”、 “第一次更换灯泡而在第二次不更换”四类事件。原解中把事件“第一次不更换灯泡而在第二次更换”理解成两个独立事件。事实上，“第一次不更换灯泡而在第二次更换”应理解为“一只灯泡其寿命介于1年与2年之间”，它是一个单一事件。

正解：“第一、二次都更换”的概率为21)1(p -，“第一、二次都不更换”的概率为2p ，

3 “第一次更换灯泡而在第二次不更换”的概率为11)1(p p ?-，故有“第一次不更换灯泡而在第二次更换”的概率为21121)1()1(1p p p p -?----21p p -=，因此所求的概率为)()1(2121p p p p -+-=。

因此，笔者根据自己的实际教学实践经验和学习体会，就新教材“概率”必修部分的教学谈谈几点教学建议。

1 重视概念的理解和辨析

从上述的问题的辩解中，可以看到概念在解题中有这不可忽视的作用，这就要求教师自身要加强概率中概念的学习和反思,真正的将抽象的概率知识转变成具体的概率知识。同时老师在教学中，要强调学生学习的数学知识要经历其形成过程，利用教材中的典型例题，让学生能看到一般概念的实际背景，弄清知识的来龙去脉；而且要能将所学的东西运用到实际中去，同时能够领悟到具体情景中所蕴涵的数学思想方法，正所谓的“从实际中来，到实际中去”，在学生思维“最近发展区”内，教师可以创设恰当的问题情景，同时结合计算机模拟，让学生在问题的解决的过程中，产生进一步学习概率的积极情感，并逐渐提高自己的数学思维能力。

2 重视阅读能力和学法的培养

新的教学大纲明确提出了“数学地突出数学问题”，而且现在全国各地的高考数学试题也正引导人们关注生产实践和社会生活中的数学问题，这就要求学生有较强的数学文化的交流能力、阅读理解表达和转化能力。在平时的教学中，教师应加强指导，使学生的阅读、理解、转化、表达和理解迁移能力得到提高，使学生善于揭示问题中的隐蔽关系、寻找新的解决方法、发现新的结论或规律，学会一题多解和多题一解，学会合理分类、一般到特殊，正难则反等常见的数学方法。

3 重视概率模型的形成和辨析

新课程强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学。 “问题情境---建立模型---解释与应用”是数学新课程标准倡导的教学模式。联系实际、注重实际应用性是近几年高考改革的特点，也是学习概率知识的重要途径。因此在学习和复习的过程中，要善于利用各种模型的特点，挖掘各种模型在思维能力方面的作用，合理地采用题组教学和变式教学，尽 …… 此处隐藏：2304字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……