15.4.1因式分解——提取公因式法

学习目标： 学习目标：1、知识与技能 、 (1)掌握用平方差公式分解因式的方法。 )掌握用平方差公式分解因式的方法。 (2)掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 )掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 2、过程与方法 、 1)经历探究分解因式方法的过程， (1)经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式 之间的联系。 之间的联系。 逆向变形，进一步发展观察、 (2)通过乘法公式 )通过乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2逆向变形，进一步发展观察、 归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。 归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。 3、情感态度与价值观 、 通过探究平方差公式，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志。 通过探究平方差公式，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志。

1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有 什么关系？) 2、判断下列各式是因式分解的有 (2)

(1)(x+2)(x-2)=x2-4

(2) x2-4 =(x+2)(x-2)

(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x 3、你能将a2-b2进行因式分解吗？

(a+b)(a-b)= a2-b2. 反过来， 反过来， a2-b2 =(a+b)(a-b)

平方差公式

2-b2=(a+b)(a-b) a

a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式特点： 1)两项 2)异号 3)两项都可以写成平方形式

a a b4 2

2

解一：原式 解一：

= a a b2 2

(

2

)

= a (a + b)(a b)2

把下列各式分解因式： 例1 把下列各式分解因式：

(1)3x

3

3x

解：原式

= 3x x 12

(

)

)( ) = 3x( x +1 x 1

下列各式能否用平方差公式分解？ 下列各式能否用平方差公式分解？如果 能分解，分解成什么？如不能说明理由。 能分解，分解成什么？如不能说明理由 ①x2+y2 ② x2-y2 =(x+y)(x-y) ③ -x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x) ④ -x2-y2

注意：公式 a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、 b可以是一个数、一个 单项式也可以是一个 多项式。

分解因式： 分解因式：(1)4x2-9解:(1)4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2) (x+m)2-(x+n)2

(2)(x+m)2-(x+n)2

=[(x+m)+(x+n)][(x+m)-(x+n)] =(2x+m+n)(m-n)

分解因式： 25(x+m)2-16(x+n)2解：25(x+m)2-16(x+n)2 =[5(x+m)]2-[4(x+n)]2 =[5(x+m)+4(x+n)][5(x+m)-4(x+n)] =(5x+5m+4x+4n)(5x+5m-4x-4n) =(9x+5m+4n)(x+5m-4n)

1、分解因式： ①x4-y4 ②a3b-ab

分解因式， 分解因式，必须 进行到每一个多 项式都不能再分 解为止。 解为止。

解： ①x4-y4 =(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) ( =(x2+y2)(x+y)(x-y) ②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)

多项式(1) ) (2) ) (3) ) (4) )

分解因式的结果

a 42

(a + 2)(a 2)

16 x

2

(4+ x)(4 x) 1 1 1+ ab 1 ab 2 2 2

1 2 2 1 a b 4

(x + y)

2

9m (x + y +3m)(x + y 3m)

2、分解因式：

、分解因式： xm+2-xm解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)注意：若有公因式则先 提公因式。然后再看能 否用公式法。

利用因式分解计算： 利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 解：原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97) +… 原式 ( ) +(2+1)(2-1) =100+99+98+97 +… +2+1 =5050

思维延伸1. 观察下列各式 观察下列各式: 32-12=8=8×1; × 52-32=16=8×2; × 72-52=24=8×3; × …… 把你发现的规律用含n的等式表示出来 把你发现的规律用含 的等式表示出来. 的等式表示出来 2. 对于任意的自然数 对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被 整除吗 能被24整除吗 整除吗? 为什么? 为什么

小结: 小结1.因式分解的步骤是首先提取公因式 然后考 因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 因式分解的步骤是首先提取公因式 虑用公式. 虑用公式 2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止 因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 因式分解进行到每一个因式不能分解为止 3.计算中应用因式分解 可使计算简便 计算中应用因式分解,可使计算简便 计算中应用因式分解 可使计算简便.