2014年数学动点抛物线压轴题训练

中考压轴题

2013年中考数学压轴题训练

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

121b

，与y轴的正半轴交于点C． x (b 1)x （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧）

444

（1）点B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,0)（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

中考压轴题

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ x b x bx＝2b．

2428

161616

解得x ．所以点P的坐标为(,)．

555

（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3

121b1

x (b 1)x (x 1)(x b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2 BA OA时，△BQA∽△QOA． QAOAb

所以()2 b

1．解得b 8 Q为

(1,2 ．

4

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA．

（3）由y

中考压轴题

BAQA

时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

QAOA

BOQA

所以C、Q、B三点共线．因此，即b QA．解得QA 4．此时Q(1,4)．

bCOOA14

当

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置． 如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

中考压轴题

例2 2012年黄冈市中考模拟第25题

1

(x 2)(x m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． m

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线的方程C1：y

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

中考压轴题

11

(x 2)(x m)，得2 4(2 m)．解得m＝4． mm111

（2）当m＝4时，y (x 2)(x 4) x2 x 2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

442

11

所以S△BCE＝BC OE 6 2 6．

22

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

CPCO

HP233因此 ．解得HP ．所以点H的坐标为(1,)．

3422

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2 CE BF时，△BCE∽△FBC．

CBBF

1

(x 2)(x m)

1FF'EO2设点F的坐标为(x, (x 2)(x m))，由，得 ． mBF'COx 2m

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

（1）将M(2, 2)代入y

COBF'm 4

由．所以BF ．

CEBFBF

由BC CE

BF，得(m 2) ．

整理，得0＝16．此方程无解．

2

2

中考压轴题

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以BEBC

BC

BF

，即BC2 BE BF时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1

m

(x 2)(x m) x 2．

解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2

，BF m 2)． 由BC2 BE

BF，得(m 2)2 m

2)．解得m 2 综合①、②，符合题意的m

为2

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

考点伸展

中考压轴题

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线y x 1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点． (1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13

图1

中考压轴题

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90 …… 此处隐藏：5360字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……