基于并行蒙特卡罗方法的欧式期权定价

第３ｌ卷第２期

２０１０年４月

华北水利水电学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈＣｈｉｎａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ

ＶｏＬ３１Ｎｏ．２Ａｐｒ．２０１０

ＷａｔｅｒＣｏｎｓｅｒｖａｎｃｙａｎｄＨｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ

文章编号：１００２—５６３４１２０１０）０２—００９１一∞

基于并行蒙特卡罗方法的欧式期权定价

王文凡１，申

杰２

（１．郑州大学升达经贸管理学院，河南郑州４５１１９１；２．华北水利水电学院，河南郑州４５００１１）

擒

要：为解决蒙特卡罗方法欧式期权定价过程中计算量巨大的问题，提出采用并行蒙特卡罗方法的解决方

案．首先用蒙特卡罗方法对欧式认购期权定价过程进行建模，用符合对数正态分布的伪随机数代替随机数；然后采用可移植消息传递标准ＭＰＩ在分布式存储结构的机群系统上设计并实现并行算法．该并行算法缩短了计算时间，效率较高．

关键词：欧式期权定价；蒙特卡罗方法；消息传递接口；并行计算

中围分类号：０２４２．３；０２４６

文献标识码：Ａ

蒙特卡罗（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ）仿真是金融分析常用的方法¨’２Ｊ．然而一次有效的定价过程通常需要对上百万甚至更多的样本数目进行仿真分析，计算量巨大，即使通过串行的计算方法去实现也很费时间．

采用蒙特卡罗方法对欧式期权定价时，笔者用可移植消息传递标准ＭＰＩ在分布式存储结构的机群系统上设计并实现了蒙特卡罗方法的并行化，大大提高了计算效率，降低了任务成本口】．

布莱克一斯科尔斯描述的欧式认购期权的价值ｃ（Ｓ，ｔ）的计算方程为

面ａＣ＋扣２ｓ２警＋心善一ｒＳ地

利率．

Ｓ，Ｃ（Ｓ，ｒ）＝ｍａｘ（Ｓ—层，０）；其中层为执行价格．

（２）

式中：Ｃ（Ｓ，ｔ）为认购期权的价值；Ｓ为基础资产价格；ｔ为时间，ｔＥ［０，Ｔ］；Ｔ为到期日；ｒ为无风险

。，

初始条件和边界条件为：Ｃ（０，ｔ）＝０；Ｃ（Ｓ，ｆ）一因为Ｓ（ｔ）服从漂移率肛等于无风险利率ｒ的Ｗｉｎｎｅｒ过程，由式（１）得

ｄＳ＝ｒＳｄｔ＋矿Ｓ也．

（１）

（３）

１用蒙特卡罗方法对欧式期权定价仿真

以金融衍生证券股票期权定价问题为例．以Ｗｉｎｎｅｒ过程Ｍ１来描述金融资产价格变化为

ｄＳ＝ｇＳｄｔ４－￡ｒＳｄｘ，

由式（２）和式（３）得欧式认购期权的的价值为

Ｃ（Ｓ，Ｉ）＝ｅ“‘卜‘’Ｅ（ｍａｘ（Ｓ（Ｔ）一Ｅ，０）ＩＳ（ｔ）＝ｓ）．

（４）

式中：弘为资产价值的平均增长率，也称为漂移率；ｇｌｒ为收益变动的标准差，即波动率，用来描述价格变动的波动程度；Ｓ为股票价格，其密度函数遵从对数正态分布，具有马尔可夫特性，即资产价格的未来值只与当前值有关，是时间ｔ的函数，可写为＿ｓ（ｔ），Ｓ（ｔ）遵从Ｗｉｎｎｅｒ过程，其未来状态与过去的历史和从过去演变到现在的方式无关；ｄｘ是随机变量，遵从正态分布，其值相互独立，均值为零，为取自对数正态分布中的一个样本．

布莱克一斯科尔斯的期权定价公式假设波动率不变，实际上波动率是一个随机变量．Ｓｃｏａ已经把布莱克一斯科尔斯模型推广到随机波动率的情形．

因为Ｓ（ｆ）符合Ｗｉｎｎｅｒ过程，所以公式（４）可以进一步写为

ｃ（ｓ，Ｉ）＝ｅ－，（ｒ－ｔ）ｇ（ｍａｘ（Ｓ。ｅｘｐ（ｒ一冬）＋

收稿日期：２０１０一Ｏｌ一２６

作者简介：王文凡（１９８ｌ一），女，河南禹州人，助教，硕士，主要从事高性能计算，计算机应用方面的研究．

万方数据

华北水利水电学院学报２０１０年４月

ｏ＇Ｚ￣／Ｔ—ｔ）一Ｅ，ｏ）ｌｓ（ｔ）＝ｓ），

（５）

式中，Ｚ为符合标准正态分布的随机变量，也就是说

Ｓ（ｆ）是对数正态分布．

因此，用蒙特卡罗方法对期权定价的基本步骤

如下”１：

ａ．建立概率模型：对欧式期权定价问题构造一个符合其特点的概率模型；

ｂ．在［０，１］区间上生产大量的均匀分布的伪随机数；

Ｃ．用逆变换将均匀分布的伪随机数转换成符合欧式期权定价对数正态分布的伪随机数，作为系统的大苗抽样输入样本，进行数字模拟试验，得到大量的试验模拟值；

ｄ．对模拟试验结果进行统计处理，计算均值、方差等特征值，给出所求问题的解，并用估计值的标准误差来表示解的精确度．

２并行算法的实现

２．１

ＭＰＩ编程环境

ＭＰｌＬＭｅｓｓａｇｅＰａｓｓｉｎｇ

Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）是目前最重要

的一个基于消息传递的并行编程ｔ具，具有移植性好、功能强大、效率高等许多优点¨Ｊ．

ＭＰＩ是一个消息传递接口的标准，是一个库，是一种标准规范的代表，用于开发基于消息传递的并行程序．但ＭＰＩ不是一种语言，它提供了与ｃ和Ｆｏｒｔｒａｎ语言的绑定¨’．ＭＰＩ不是一个独立的自包含系统，而是建立在本地并行程序设计环境之上，其进程管理和Ｉ／Ｏ均由本地并行程序设计环境提供．２．２并行算法的实现

对蒙特卡罗方法在欧式认购期权定价问题的并行化分析基础上，在Ｌｉｎｕｘ操作系统及消息传递接口ＭＰＩ与标准Ｃ绑定的一个并行的环境中，对欧式认购期权的定价进行并行算法实现．主要部分的实现方法如下：

输入：Ｄａｔａｓｉｚｅ输出：ｐａｙｏｆｆ，ｓｔｅｒｒ

Ｂｅｇｉｎ

初始化：基础资产价格Ｓ，执行价格Ｅ，无风险利率ｒ，期权资产变动的标准差盯，到期日ｒ；

初始化计算：漂移率肛和对数正态分布的参数

ＭＰＩ—Ｉｎｉｔ（＆ａｒｇｃ，＆ａｒｇｖ）；

／宰ＭＰＩ的初始化函数掌／

ＭＰＩ—Ｃｏｍｍ—ｓｉｚｅ（ＭＰＩ—ＣＯＭＭ—ＷＯＲＬＤ，

＆ＳｕｍｌＤ）；

／木获取指定通信域的进程个数木／

万方数据

ＭＰＩ—．Ｃｏｍｍ—．ｒａｎｋ（ＭＰＩ．．ＣＯＭＭ——ＷＯＲＬＤ，

＆ＭｙＩＤ）；

／瘩获取本进程标识符ＩＤ水／

ＭＰＩ—．Ｇｅｔ．．ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ—．ｎａｍｅ（ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ．—ｎａｍｅ，

＆ｎａｍｅｌｅｎ）；

／乖获取本进程所在的处理器名称术／

ｉｆ（ＭｙＩＤ＝＝０）／ｊＩｃ若是主进程：Ｉｃ／ＤａｔａＳｉｚｅ＝ＧｅｔＤａｔａＳｉｚｅ（）；

／母读入待处理的随机数的个数，．ｃ／

ＭＰＩ——Ｂｃａｓｔ（＆ＤａｔａＳｉｚｅ，１，ＭＰＩ—．ＵＮＳＩＧＮＥＤ—．

ＬＯＮＧ，０，

．

ＭＰＩ—ＣＯＭＭ—ＷＯＲＬＤ）；

／枣主进程广播待处理的随机数的个数木／

ｉｆ（ＭｙＩＤ＝＝０）

｛

ｓｔａｒｔｗｔｉｍｅ＝ＭＰＩ—Ｗｔｉｍｅ（）；

为主进程分配存储空间；

｝

ｅｌｓｅ

｛

为各个从进程分配存储空间；｝

｛各从进程生成Ｄａｔａｓｉｚｅ个随机数，并存放在

各自的存储空间中；

各从进程分别把随机数转换成对数正态分布的随机数，分别并计算Ｐａｙｏｆｆ的数值；

｝

ｉｆ（ＭｙＩＤ＝＝０）／木若是主进程，从指定进程接收消息水／

｛

ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜ＳｕｍＩＤ；ｉ＋＋）

ＭＰＩ—Ｒｅｃｖ（ｒｅｓｕｌｔ，Ｂｕｍ，ＭＰＩ— …… 此处隐藏：2835字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……