全国高中数学联赛试题

全国高中数学联赛试题

第一试

一、选择题(每小题6分,共36分)

1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式都成立

的充要条件是

(A)a,b同时为0,且c>0 (B)

(C)(D)

2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c都是复数,如果,则

.(2).设a,b,c都是复数,如果,则.

那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确,命题(2)也正确(B)命题(1)正确,命题(2)错误

(C)命题(1)错误,命题(2)也错误(D)命题(1)错误,命题(2)正确

3、已知数列满足,且,其前n项之和为,则满

足不等式的最小整数n是

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

4、已知,则下列三数:,,

的大小关系是

(A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z

5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

(A)(B)(C)(D)

6、在平面直角坐标系中,方程(a,b是不相等的两个正数)

所代表的曲线是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分,共54分)

1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为( 1,1)和(2,2),若直线

与PQ的延长线相交,则m的取值范围是______.

2.已知且则=_____.

3.已知点集,

,则点集中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.

4.设,则的最大值是______.

5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于,则=___

6.已知95个数, 每个都只能取+1或两个值之一,那么它们的两两之积的和的最小值是___.

第二试

一、(本题满分25分) x的二次方程中,均是复数,且,设这个方程的两个根满足,求

的最大值和最小值.

二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第1000项.

三、(本题满分35分) 如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,

,,的外角平分线交圆O于E,证明:

(1) IO=AE(2)

四、 (本题满分35分)给定平面上的点集, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组,使得每组至少有3个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G).

(1)求m(G)的最小值

(2)设是使的一个图案,若中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.