【解析】山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

- 1 - 高二数学

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =共线，则x y -=（ ） A. 32- B. 12- C. 12 D. 1

【答案】B

【分析】

根据向量共线直接求解.

【详解】因为向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =共线， 所以

2421

x y ==-， 解得11,2

x y =-=-， 所以12x y -=-， 故选：B

2. 已知过点(),2A a ，()1,4B -的直线的斜率为-1，则a =（ ）

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2 【答案】C

【分析】

- 2 - 根据题意，由直线的斜率公式可得4211AB k a

-==---，求解即可. 【详解】过点(),2A a ，()1,4B -的直线的斜率为1-,

4211AB k a

-==---, 解得1a =，

故选：C

3. 两圆x 2+y 2=9和x 2+y 2﹣

8x+6y+9=0的位置关系是（ ）

A. 相离

B. 相交

C. 内切

D. 外切

【答案】B

试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R 和r ，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d ，比较d 与R ﹣r 及d 与R+r 的大小，即可得到两圆的位置关系． 解：把x 2+y 2﹣8x+6y+9=0化为（x ﹣4）2+（y+3）2=16，又x 2+y 2=9，

所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，

则两圆心之间的距离d==5， 因为4﹣3＜5＜4+3即R ﹣r ＜d ＜R+r ，所以两圆的位置关系是相交．

故选B ．

考点：圆与圆的位置关系及其判定．

4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）

A. 200两

B. 400两

C. 432两

D. 480两

【答案】D

- 3 - 【分析】 计算底面半径为12223r =

=?，2132143

V =???=，换算单位得到答案. 【详解】底面半径为12223

r ==?， 2132143V =???=立方丈6410=?立方寸4000027=斛， 故40000324100048027

?÷=两. 故选：D

5. 已知直线()110a a x y -+-=与直线310x ay ++=垂直，则实数a =（ ） A. 12 B. 0或12 C. 0或23 D. 23

【答案】C

【分析】

由题意利用两条直线垂直的性质，求出a 的值.

【详解】因为直线()110a a x y -+-=与直线310x ay ++=垂直， 所以3(1)0,a a a -+=

解得0a =或23a =

. 故选：C

6. 过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ）

A. ()2224x y -+=

B. ()2224x y ++=

C. ()()22448x y -+-=

D. ()()22448x y ++-= 【答案】A

【分析】

设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.

【

详解】设圆心(),24C a a -，由AC BC =可得

- 4 -

=

整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，

所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()22

24x y -+=. 故选：A.

【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：

（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；

（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.

7. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，1D D 的中点；则异面直线EF 与BD 所成的角为（ ）

A. 30

B. 45?

C. 60?

D. 120?

【答案】C

【分析】

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线EF 与BD 所成的角.

【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，

- 5 - 则11(,0,1),(0,0,),(1,1,0),

(0,0,0)22

E F B D ， 11(,0,),(1,1,0)22

EF BD =--=-- 设异面直线EF 与BD 所成的角为θ，

则1||12cos 2

||||122EF BD EF BD θ?===??， =60θ∴?

∴异面直线EF 与BD 所成的角为60°

故选：C

8. 如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=?，E 是AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置，使得面1A ED ⊥面BCDE ，则点1A 到直线DB 的距离为（ ）

A.

7

B.

7

C.

3

2

D. 3

【答案】A

【分析】

证明1A E⊥平面BCDE，得1A E BE

⊥，求得

1

2

A B=，在等腰三角形1

BA D中，由等面积法求点1A到直线DB的距离．

【详解】如图，

E是AB的中点，1

1

1

2

EB EA EA AB

∴====，

在菱形ABCD中，2

AB=，60

DAB

∠=?，得ABD

△、BCD

△是等边三角形，

2

BD CD AB

∴===，即

1

2

A D AD AB

===，

正三角形ABD中，E是AB的中点，则DE AB

⊥，可得1

DE A E

⊥，

又面1A ED⊥面BCDE，且面1A ED?面BCDE DE

=，

1

A E

∴⊥平面BCDE，则

1

A E BE

⊥，

在Rt△1A EB中，由11

A E BE

==，可得

1

2

A B=，

在等腰三角形1

BA D中，取

1

A B的中点H，连接DH，可得22

11

14

DH A D A H

=-

设点1A到直线DB的距离为h，

则由等面积法可得，

1

11

22

A B DH BD h

??=??，

- 6 -

1

14

27

2

2

A B DH

h

BD

?

?

∴===

．

故选：A

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.

9. 若m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A. 若mα

⊥，//

nα，则m n

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