高考数学总复习基础知识与典型例题06不等式

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数学基础知识与典型例题

高考数学总复习基础知识与典型例题06不等式

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因 此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的 不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、 无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、 含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次 不等式(组)或一元二次不等式(组)来解。

例 11. 若 关 于 x 的 不 等 式ax 2 + bx 2 > 0 的 解 集 是

② 对 数 不 等 式 log a f ( x ) > log a g( x)( a > 0且a ≠ 1) 的 同解不等式： f ( x) > 0 当 a > 1 时，为 g x > 0 ; ( ) f ( x) > g( x ) f ( x) > 0 当 0 < a < 1 时，为 g( x ) > 0 f ( x ) < g( x )

例 15.不等式 lg( x 2 1) < 1 的解 集是____________.

过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它 的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解 各类不等式的思路和方法。 (1)高次不等式 f ( x ) > 0(或 < 0) 若 f ( x ) 可以分

1 1 ( ∞, ) U ( , +∞) , 则 ab 等 2 3 于( ) ( A) 24 ( B )24 解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形 (C )14 ( D ) 14

例

例 12.不等式解集是( )

解成几个含 x 的一次因式，可用列表法或数轴标 根法来解。 (2)分式不等式 f ( x ) > (或≥ 0)或 f ( x ) < (或 ≤ 0) 0 0g ( x) g ( x)

x x 的 ≥ 2+ x 2+ x

因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意 利用对数的性质化为同底不等式.

16. 解 不 等 式 1 lg( x ) < 0. x

不 等 式 解 法

( A)( 2, 0) ( B) ( 2, 0] (C ) R (D)( ∞, 2) U( 2, +∞)

要正确运用以下同解原理。①

例 13. 不等式 5 x ≥ x + 1 的解集是( ) (A) {x | 4 ≤ x ≤ 1} ( B ) {x | x ≤ 1} (3)无理不等式: 将无理不等式变形为与它同解的 (C ) {x | x ≤ 1} 不等式组。 ( D ) {x | 1 ≤ x ≤ 1} f ( x) g ( x) ≥0 f ( x) g ( x) ≤0 · · f ( x) ② ≥0( 或≤0) 与不等式组 或 同解 g ( x ) ≠ 0 g ( x) g ( x) ≠ 0

f ( x) > 0(或 < 0)与 f ( x ) g ( x ) > 0 ( 或 < 0 )同解 · g ( x)

不 等 式 解 法

(5)绝对值不等式 解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值 符号的不等式(组) ,主要方法： f ( x ) > a f ( x ) > a或f ( x ) < a;

例 17. 解关于 x 的不等式 2 2 2 x 2 + (a 1) x + 3 f ( x ) > g ( x ) f ( x ) > g ( x ) > 1. x 2 + ax 对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值

的不等式组。 注:绝对值的几何意义:

f ( x ) < a a < f ( x ) < a;

x 表示数轴上的数 x 对应的点与原点的距离. x a 表示数轴上的数

①不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的同解不等式组是 g ( x) ≥ 0 g ( x) < 0 或 f ( x)≥ 0 f ( x)≥ 0 2 f ( x ) ≥ g ( x )

x 对应的点与数 a 对

例 14. 不等式 x 是(

log 1 x2

<

1 的解集 x

②不等式 f ( x ) ≤ g ( x ) 的同解不等式组是 g ( x) ≥ 0 f ( x)≥ 0 2 f ( x ) ≤ g ( x )

)

(A) {x 1 < x < 2} (B) {x x > 2 或 x < 1} (C)

应的点的距离. (6)含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的 字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当 的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行 求解。

(4)指数、对数不等式

f x g x ①指数不等式 a ( ) > a ( ) a > 0且a ≠ 1 的同解不

(

)

(D) {x 0 < x < 1 或 x > 2}

等式： 当 a > 1 时，为 f ( x ) > g ( x ) ;

当 0 < a < 1 时，为 f ( x ) < g ( x ) .第3页

不 等 式 的

注: 解不等式是求定义域、值域、参数的取值 范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等 式的变形” ,是研究数学的基本手段之一。 不等式的证明 1.证明不等式的基本依据： (1)实数大小的比较原则； (2)不等式的性质； (3)几个重要不等式，特别是算术——几何平 均值不等式第4页

例 18. 已知 x∈R, 2x 2 2x 1 求证：-2≤ 2 <2. x x +1

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证 明

(4)已知函数的增减性； (5)实系数一元二次方程的根的判别式.

⑷放缩法 若证明“A≥B” ,我们先证明“A≥C” ,然后 再证明“C≥B” ,则“A≥B” 。

2.证明不等式的常用的方法: 例 19. 若 a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ⑴比较法： 求证: a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ①作差比较，要点是：作差——变形——判断。 ≥ 2(a + b + c) . 这种比较法是普遍适用的，是无条件的。 根据 a-b>0 a>b,欲证 a>b 只需证 a-b>0; ②作商比较，要点是：作商——变形——判断。 这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式” 的符号一定。

⑸用数学归纳法证明不等式: 有关自然数的命题， (当然这里是不等式)可用 数学归纳法证明。 有关自然数的命题成立的条件有二： 一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。 数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上 述两条性质，从而确定其正确性。

例 22. 已知△ABC 的三边长 是 a,b,c,且 m 为正数，求 a b c 证: + > . a+m b+m c+m

a 当 b>0 时，a>b >1。 b比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要 的方法， 有时根据题设可转化为等价问题的比较 (如 幂、方根等) 。

不 等

式 的 证 明

用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要 内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用 多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内 容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重 视。

不 等 式 的 证 明

⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的 充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为 止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分 析法探究证明途径。 这种方法的实质是“充分条件”的化简。 分析法证明不等式的逻辑关系是： B B1 B2 L Bn A . 分析法的思维特点是：执果索因王新敞奎屯 新疆

例 20. 设 a, b, x, y ∈ R , 且 a 2 + b 2 = 1, x 2 + y 2 = 1 证: ax + by ≤ 1. , 求

熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵 活运用常用的证明方法(比较法、分析法、综合性、 反证法、数学归纳法) ,以及运用放缩、增量、构造 (函数或不等式) 、判别式 等方法。 例 23.建造一个容积为 18m3,深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底 和池壁每 m2 的造价分别是 200 元 和 150 元,那么池的最低造价为 _______元. 不等式的应用 不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年 高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值 域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式 讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有 关应用问题。 例 24. 甲、 乙两人同时同地沿同一 路线走到同一地点.甲有一半 …… 此处隐藏：3753字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……