28.1 《第二课时》锐角三角函数课件(新人教版九年级下)

探究

情境探究B

如图，在Rt△ABC中，∠C =90°,当锐角A确定时， ∠A的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？ 为什么？

斜边c 对边a

A

邻边b

C

当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine), 记作cosA,即 A的邻边 b

cos A

斜边

c

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即

tan A

A的对边 a A的邻边 b

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

例题示范3 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,sinA= 5 ,求 cosA、tanB的值.

B

解：∵

BC sin A ABA

6

BC 5 AB 6 10 sin A 3又

C

AC AB 2 BC 2 10 2 62 8

AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3

例题示范变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,cosA=15 ,求 17

B

sinA、tanA的值. 解：∵

AC 15 cos A AB 17A C

设AC=15k,则AB=17k所以 BC

AB 2 AC 2 (17k ) 2 (15k ) 2 8k

BC 8k 8 sin A , AB 17k 17 BC 8k 8 tan A AC 15k 15

例题示范例3: 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° B 1.求证：sinA=cosB,sinB=cosA 2.求证：tan A

sin A cos A

sin 2 A sin A sin A2

3.求证：sin

2

A cos A 1A C

例题示范例4: 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P,若

DPB

那么

1 A.sin , B.cos , C.tan , D. tan 变式： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P,若

CD (B AB

)

AB=10,CD=6,求

sin

.C D

4 sin 5A

PO B

小结如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，BC AC sin A , cos A , tan A AB AB AC BC sin B , cos B , tan B AB AB BC AC AC BC

sin A cos B cos A sin B 1 tan A tan BB

因为0<sinA <1, 0<sinB <1,

0<cosA <1, 0<cosB <1, tan A>0, tan B>0 所以，对于任何一个锐角α ,有 0<sin α <1,0<cos α <1, tan α >0,2 2

A

C

sin cos 1

练

习

1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. C 解：由勾股定理

BC AB AC 13 12 52 2 2 2

12 B

BC 5 sin A AB 13 AC 12 cos A AB 13

13

A

sin B

BC 5 tan A AC 12

AC 12 AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5

2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？ 解：设各边长分别为a、b、c,∠A的三个三角函数分别为

a b a sin A , A , A cos tan c c b则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c

B

2a a sin A 2c c 2b b cos A 2c c 2a a tan A 2b b

CB

A

C

A

3 3. 如图

,在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,tanA= 4求：sinA、cosB的值. 解： tan A

,

BC 3 AC 4

B

AC 83 3 BC AC 8 6 4 4

C

8

A

AB AC 2 BC 2 82 62 10BC 6 3 sin A AB 10 5

BC 6 3 cos B AB 10 5

4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC, (1)求证：AC=BD;

12 (2)若 sin C ,BC=12,求AD的长。 13

A

AD=8B

D

C

5. 如图，在△ABC中， ∠ C=900,若∠ ADC=450, BD=2DC,求tanB及sin∠BAD.

A

1 tan B = 33 10 sin BAD = 10B D C

通过对本节课的学 导学案P47《锐角的余弦、正切函 习，你有哪些收获 呢？你还有什么疑 惑吗？