(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练14

圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题

例1、已知直线l与y轴交于点P(0,m)，与椭圆C:2x y 1交于相异两点A、B，且AP 3PB，求m

2

2

的取值范围．

解：（1）当直线斜率不存在时：m

1

2

（2）当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)

y kx m222

得 2(k 2)x 2kmx m 1 0 2

2x y 1

2kmm2 1

,x1x2 2 (2km) 4(k 2)(m 1) 4(k 2m 2) 0 （*） x1 x2 2

k 2k 2

2

2

2

2

2

x1 x2 2x2

2

x∵AP 3PB，∴ x1 3x2，∴ . 消去，得3(x x) 4x1x2 0， 2122

x1x2 3x2

2km2m2 1 3(2) 42 0 整理得4k2m2 2m2 k2 2 0

k 2k 2112 2m222

m 时，上式不成立； m 时，k ，

444m2 1

2

112 2m2

1 m ∴k ，∴或 m 1 0

224m2 1

2

112 2m2

1 m 把k 代入（*）得或 m 1

224m2 1

2

∴ 1 m

1111

或 m 1 综上m的取值范围为 1 m 或 m 1。 2222

例2、已知点M(4, 0)，N(1, 0)，若动点P满足MN MP 6|PN|．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

18 12

（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若 ≤NA NB≤ ，求直线l的斜率的取值范

75

围.

解：（Ⅰ）设动点P(x, y)，则MP (x 4, y)，MN ( 3, 0)，PN (1 x, y).

xy

1. 由已知得 3(x 4) 6(1 x) ( y)， 化简得3x 4y 12，得43

2

2

22

22

x2y2

1. 所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为43

1

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y k(x 1)， 设A，B两点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2).

y k(x 1),

由 x2y2消去y得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.

1 3 4

8k2

x x , 123 4k2

因为N在椭圆内，所以 0.所以 2

xx 4k 12.12 3 4k2

2

因为NA NB (x1 1)(x2 1) y1y2 (1 k2)(x1 1)(x2 1) (1 k)[x1x2 (x1 x2) 1] 4k2 12 8k2 3 4k2 9(1 k2)

(1 k) ， 22

3 4k3 4k

2

18 9(1 k2)122

≤ 所以 ≤. 解得1≤k≤3. 2

73 4k5

x2y2

例3、已知点Q为椭圆E： 1上的一动点，点A的坐标为(3,1)，求AP AQ 的取值范围．

182

解： AP (1,3)，设Q（x，y），A，AP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6． Q x( ,3y )1

x2y2∵ 1，即x2 (3y)2 18，而x2 (3y)2≥2|x| |3y|，∴－18≤6xy≤18． 182

则(x 3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy的取值范围是[0，36]． x 3y的取值范围是[－6，6]．

∴AP AQ x 3y 6的取值范围是[－12，0]．

二、针对性练习

1.已知椭圆的一个顶点为A(0, 1)，焦点在x轴上.

若右焦点到直线x y 0的距 离为3.（1）求椭圆的方程.

（2）设直线y kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点M,N.当|AM| |AN|时，求m的 取值范围.

x2解：（1）依题意可设椭圆方程为2 y2

1，则右焦点F

a

2

x2

3，解得a 3， 故所求椭圆的方程为 y2 1.

3

2

y kx m

（2）设P(xP,yP)、M(xM,yM)、N(xN,yN)，P为弦MN的中点，由 x2 2

y 1 3得(3k2 1)x2 6mkx 3(m2 1) 0 直线与椭圆相交，

(6mk)2 4(3k2 1) 3(m2 1) 0 m2 3k2 1, ①

xP kAP

xM xNm3mk

，从而yP kxP m 2， 2

3k 123k 1

yP 1m 3k2 1 ，又|AM| |AN|, AP MN,

xP3mk

m 3k2 11

则： ，即2m 3k2 1，②

3mkk把②代入①得m2 2m，解0 m 2， 由②得k2 综上求得m的取值范围是

12m 1

0，解得m .

23

1

m 2. 2

2

2

2. 如图所示，已知圆C:(x 1) y 8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上， 点N在

CM上，且满足 2, 0,点N的轨迹为曲线E.

（I）求曲线E的方程；

（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两 点G,H（点G在点F,H之间），且满足 ， 求 的取值范围.

解：（Ⅰ） 2, 0. ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又 |CN| |NM| 22, |CN| |AN| 22 2. ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

x2

y2 1. 且椭圆长轴长为2a 22,焦距2c=2. a 2,c 1,b 1.∴曲线E的方程为2

2

x22

（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y kx 2, y 1,

23

由 0得k2 .

2

4k3

设G(x1,y1),H(x2,y2),则

x1 x2 ,x1x2

11 k2 k222

得( k)x 4kx 3 0.

2

2

1

2

3

又 ,

x1 x2,

(x1,y1 2) (x2,y2 2)

(

x1 x22xx2

) x2 12， 1

2

x1 x2 (1 )x2,x1x2 x2.

4k23)11 k2 k2

,整理得2

(1 )(

31616

, 4 .

323 32k2

16(1 )2

1 3(2 1)2k

4

1

k2

2

161

.解得 3.33

111

1.又当直线GH斜率不存在，方程为x 0,FG FH, . 333

11

1,即所求 的取值范围是[,1) 33又 0 1,

3.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A( 1,0)、B(1,0)，一个顶点为H(2,0). （1）求椭圆E的标准方程；

（2）对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP MH，求t的取值范围. 解：

x2y2

1． （1）由题意可得，c 1，a

2，∴b ∴所求的椭圆的标准方程为：43x02y02

1． ① （2）设M(x0,y0)（x0 2)，则 43

且 (t x0, y0)， (2 x0, y0)， 由MP MH可得 0，即 ∴(t x0)(2 x0) y0 0． ② 由①、②消去y0整理得

2

12113

t(2 x0) x0 2x0 3． ∵x0 2 ∴t (2 x0) 1 x0 ．

4442

∵ 2 x0 2， ∴ 2 t 1． ∴t的取值范围为( 2, 1).

x2y2 4.已知椭圆C:2 2 1(a b

0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直

ab2

线x y 0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点A,B，设P为椭圆上一点，且满足 t（O为坐标原点）

时，求实数t取值范围． 4

222 解：

（Ⅰ）由题意知e c2

ca ba 2

， 所以e a2

a2 12． 即a2

2b2

．

又因为b 1，所以a2 2，b2

1．故椭圆C的方程为x22 y2 1． （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设AB：y k(x 2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，

y k由 (x 2), x22

得(1 2k2)x2 8k2x 8k2 2 0. 2

y 1. 64k4

4(2k2

1)(8k2

2) 0，k2

1

2

. x8k28k21 x2 1 2k2，x 21 x2 1 2k2

. ∵ t，∴(xx1 x28k2

1 x2,y1 y2) t(x,y)，x t

t(1 2k2)

， y

y1 y2t 1t[k(x 4k …… 此处隐藏：1863字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……