量子力学期末试卷解析2

量子力学期末试卷解析2

本套试卷共两大类题，11题，满分100分。最后一页有可能用到的数学公式。 一、证明题（共30分） 1．（本题5分）

x i 为厄密算符。 证明x方向动量算符p

x

2．（本题5分）

,p x] i 。 证明对易关系：[x

3．（本题5分）

,L ] i L 。 证明对易关系：[Lyzx

4．（本题5分）

(已知：a

2

)1/2(x

i

)，a (p

2

)1/2(x

i

)，证明：[a ,a ] 1 p

5．（本题5分）

若 x, y, z为泡利矩阵，证明 x y z i。

6．（本题5分）

d2

i2是否为厄密算符？给出证明。 dx

二、计算题（共70分） 7．（本题10分）

2和L 的共同本征态Y态，试求和。 设粒子处于Llmxyz

8．（本题15分）

0 (0)

设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级E1 0 和E2，E1(0) E2，现在

'的作用，体系的哈密顿算符为 受到微扰H

)

E1(0 ba

H (0 )

E2 a

其中a,b为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：

做级数展开，保留到前三项）。

9．（本题15分）

01 x , 在S 表象中的矩阵形势为s已知S xz

2 10

表象中的正交归一化本征函数。 求：（1）其本征值和在Sz

对角化的幺正变换矩阵S。 （2）使S

x

10．（本题15分）

已知氢原子在t 0时处于状态

(r,Sz,0

1 2Rr(Y) (2110 , )

03 3 0

Rr(Y ) 1000 (

1 1,) 31 RY 3111 (0 ,)

求能量及自旋z分量的各种可能取值及其概率与平均值，写出t 0时的波函数。

由于n=1,2,3.对应于能量为E1

es4

2

2

E2

es4

8

2

E3

es4

18

2

，对应概率为

131131175 es4 ，,,。平均值为E1 E2 E3 ，自旋z的分离可能取,288288576 2221

，平均值为0. 2

t>0时的波函数为

且其概率分别为

iii

1 E2t2 0 E1t1 1 E3t 3

(r,SZ,t) R21(r)Y10( , ) e R10Y00( , ) e R31Y1 1( , ) e 333 0 1 0

11．（本题15分）

设氢原子处在 (r, , )

1

a

30

e

ra0

的态，a0为玻尔半径，求

e2

（1）r的平均值；（2）势能 的平均值；（3）动能的平均值；（4）最

r

概然半径。（波函数已归一化，不必检验。任选其中两问即可，多答不多得分）

附：可能用到的公式

1 2 1 1 2

(r) (sin ) 1、 22 r2 r rsin sin

1n

2、 xneaxdx xneax xn 1eaxdx (n 0)

aa

eaxax

(asinbx bcosbx) 3、 esinbxdx 2

a b2

n!

,a 0 4、 e axxndx n 1 n 正整数

0a 21 5、 e axdx

02a

(2n 1)!!

其中

02n 1a2n 1

(2n 1)!

(2n 1)!! 1 3 5 (2n 1),( 1)!! 0

2nn!

(2n)!! 2nn! 2 4 6 (2n),0!! 0 2n!7、 x2n 1e axdx n 1

02a6、 xe

2n

ax2

dx

8、氢原子能级公式：En 9、(1 x) 1 x

es41

2 n

2

2

n 1,2,3,

( 1)

2!

x2

( 1) ( n 1)

n!

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