高中数学：用补形法解立体几何题

高中数学：用补形法解立体几何题

1. 正四面体补为正方体

例1. 求棱长为1的正四面体的体积。

图1

分析：常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求，但要首先求出此三棱锥的高，求高比较繁琐。如果将正四面体ABCD补形为正方体（如图1），那么此正方体的棱长为，因此，求正四面体的体积便有了新的求解思路：

例2. 如图2，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等，如果E、F、G分别是SC、AB、AC的中点，那么异面直线EF与BG所成角的余弦值等于__________。

图2

分析：常规的思路是“平移法”，取GA的中点H，连结EH、FH，则∠EFH即为所求，但解△EFH的运算量较大。联想到正四面体可补形为正方体（如图3），相当于求与BG所成角的余弦值。在此正方体的左边补上一个大小相同的正方体，构成一个长方体（如图4），则相当于求长方体对角线BD与侧棱所成角的余弦值。

设正方体边长为1，则长方体对角线BD的长为。

在中，

2. 三条侧棱两两垂直的三棱锥或对棱相等的三棱锥或一条侧棱垂直于底面的三棱锥都可以考虑补形为长方体

例3. 如图5，是直二面角，

，，那么AB与面β所成的角等于（）

图5

A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

分析：由α⊥β，BD⊥CD，得BD⊥α

同理得：AC⊥β

因此，AC⊥CD，BD⊥CD，AC⊥BD

不妨把三棱锥A-BCD补形为长方体（如图5），易得

∠ABC为所求的角。

在Rt△ABC中，，选D。

例4. 如图6，四面体P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，O为面ABC上一点，且O到平面PAB、平面PAC、平面PBC的距离分别为2，3，4，求OP的长度。

分析：可补一个“小”长方体（如图6），由此可得“小”长方体的长、宽、高分别为2，3，4，求OP长可转化为求该“小”长方体的对角线长，得：

3. 一般三棱锥（三棱柱）可补形为三棱柱（平行六面体）

例5. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA、BC的公垂线段DE＝h，求证三棱锥的体积是

。

分析：以ABC为底面，PA为侧棱补形为一个三棱柱ABC －，进一步补形为平行六面体ABCD－（如图7），那么

由异面直线PA、BC的距离为h知：

两底面与平面的距离为h

又PA⊥BC，PA＝BC＝a

可求出底面的面积为，所以

例6. 已知正三棱柱ABC－，若，求与所成的角。

分析：在三棱柱ABC－的下方再补上一个大小形状一样的三棱柱－EFG，构成一个新的三棱柱ABC－EFG（如图8），连结，则∠FA1C即为所求。

易知

由知：

∠AB1G＝90°

故∠FA1C＝90°

4. 其它不规则几何体可视情况补形为三棱柱或平行六面体

例7. 如图9，在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，且EF∥平面ABCD。若EF＝3，且其余的棱长都是2，求该多面体的体积。

分析：先把该不规则多面体补形为三棱柱，进一步补形为平行六面体（如图9）。可求得点F到平面的距离为。

所以

从以上几例可知，补形后的运算很简捷，难点就在于如何突破“补形”这一关。规律是原几何体经补形后常常置身于长方体、正方体、三棱柱或平行六面体等规则几何体中，由整体再回过头来看局部，则可化难为易。

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