高三数学查漏补缺题

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海淀区高三数学查漏补缺题

一、函数部分： 1.已知函数f(x)

lnx a

(a R) x

（Ⅰ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象与函数g(x) 1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的

取值范围.

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0, ),f (x)

令f (x) 0得x e1 a

当x (0,e1 a)时,f (x) 0,f(x)是增函数 当x (e1 a, )时,f (x) 0,f(x)是减函数 ∴f(x)在x e（Ⅱ）（i）当e

1 a

1 (lnx a)

x2

1 a

处取得极大值,f(x)极大值 f(e1 a) ea 1

a 1时， e2时，由（Ⅰ）知f(x)在(0,e1 a)上是增函数，在(e1 a,e2]

上是减函数.f(x)max ea 1

又当x e a时,f(x) 0,当x (0,e a]时f(x) 0.当x (e a,e2]时，f(x) (0,ea 1]

a 1

1 所以，f(x)与图象g(x) 1的图象在(0,e2]上有公共点，等价于e

解得a 1,又a 1,所以a 1. （ii）当e

1 a

e2即a 1时，f(x)在(0,e2]上是增函数，

2 a

2

e,

22

∴f(x)在(0,e]上的最大值为f(e)

所以原问题等价于

2 a2

1,解得a e 2. 2

e

又 a 1∴无解

说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用：给函数解析式之后，能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势，通过研究函数在区间的端点处的函数值或符号进一步了解函数的准确的变化状态.此题也可以做如下引申：“若函数f(x)的图象与函数g(x) 1的图象在区间(0,e2]上有两个公共点，求实数a的取值范围.” 2. 设f(x)

2344

x 2x m ( m ). 333

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（I）求f(x)的单调区间与极值； （II）求方程f(x) 0的实数解的个数.

解：（I）f (x) 2x2 2，由f (x) 2x2 2 0 得 x 1或x 1.

所以，f(x)的单调递增区间为( , 1)和(1, )，单调递减区间为( 1,1)；

44

，极小值为f(1) m ． 33

4444

（II）由于 m ，所以f( 1) m 0，f(1) m 0.

33334

① 当m 时，f( 1) 0，即x 1是方程f(x) 0的一个解.

3

448244

又因为f(1) 0,f(3) 27 6 12 0，

333333

极大值为f( 1) m

所以,方程f(x) 0在(1,3)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知，方程

f(x) 0有两个不同的解.

44

时，f(1) m 0，即x 1是方程f(x) 0的一个解.

33

4484

又因为f( 1) 0,f( 3) 12 0，

3333

②当m

所以方程f(x) 0在( 3, 1)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知，方程

f(x) 0有两个不同的解.

③当

4444

m 时，f( 1) m 0，f(1) m 0，所以方程f(x) 0在3333

( 1,1)内至少有一个解. 又由f( 3) m 12 0，知方程f(x) 0在( 3, 1)内至少

有一个解；由f(3) 12 m 0，知方程f(x) 0在(1,3)内至少有一个解.根据函数

f(x)单调性可知，方程f(x) 0有三个不同的解.

说明：通过本题考查学生几个方面的能力：

（1）能否将“求方程f(x) 0的实数解的个数”问题转化为函数f(x)的零点问题； （2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质.

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3. 如图，矩形ABCD

内接于由函数

yy 1 x,y 0图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在y 0上，求矩形ABCD面积的最大值. 解：由图，设A

点坐标为(x

,x ,

则B(1

，由图可得1 x，记矩形ABCD的面

积为S

，易得

S AB AD (1x 3 2

令t t ，得S t3 t2 t 1

所以S' 3t2 2t 1 (3t 1)(t 1)，令S 0，得t 或t 1，

3因为t 1

，所以t . 3

S ,S随t的变化情况如下表：

由上表可知，当t 大值为

115

，即x 时， S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最

9327

5

. 27

说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.

二、数列部分：

1. 设数列 an 的前n项和Sn 3an 2(n 1,2,

)． （Ⅰ）证明数列 an 是等比数列；

（Ⅱ）若bn 1 an bn(n 1,2, )，且b1 3，求数列 bn 的前n项和Tn． （Ⅰ）证：因为 Sn 3an 2(n 1,2, )，

Sn 1 3an 1 2(n 2,3, )，

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所以当n 2时，an Sn Sn 1 3an 3an 1，整理得an 由Sn 3an 2，令n 1，得a1 3a1 2，解得a1 1. 所以 an 是首项为1，公比是

3

an 1. 2

3

的等比数列. 2

（Ⅱ）解：由bn 1 an bn(n 1,2, )，得

bn 1 bn an(n 1,2, ).

所以

b2 b1 a1,b3 b2 a2,

bn bn 1 an 1,

3 1 2从而 bn b1 [a1 a2 an 1] 3

31 2

Tn 2[1

n 1

3 2 2

n 1

5.

33233

() ...... ()n 1] 5n 4 ()n 5n 4. 2222

说明：数列的an与Sn问题是数列的基本问题，通过两者之间的转化达到解决问题的目的是学生应该落实的.本题的第一问也可以改为“求数列 an 的通项”或“求数列 an 的前n项和Sn”，提高思维的强度.

2,12. 数列 an 满足a1 2,an 1 ( 3)an 2n，（n 3

(Ⅰ) 当a2 1时，求 及a3；

）

（Ⅱ）是否存在实数 ，使得数列 an 为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；

解：(Ⅰ) a1 2,a2 1,a2 ( 3)a1 2,(n 1,2,3 )

33112

，故a3 a2 2，所以a3 . 222

n

（Ⅱ） a1 2,an 1 ( 3)an 2，

a2 ( 3)a1 2 2 4 ，

a3 ( 3)a2 4 2 10 16，

2

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若数列 an 为等差数列，则a1 a3 2a2 2 7 13 0

49 4 13 0 方程没有实根，故不存在 ，使得数列 an 为等差数列.

2

若数列 an 为等比数列，则a1 ，即2(2 2 10 16) (2 4)2 a3 a2

解得： 4. an 1 an 2n

a2 a1 2a3 a2 22a4 a3 23 an an 1 2n 1

2(1 2n 1) an 2 2n (n 2,n N )

1 2

又n 1,a1 2符合条件， an 2n (n N)

*

将n 1个式子相加，an a1 2 22 2n 1，

an 12n 1 n 2，故数列 an 为等比数列. 通项公式为an 2n an2

说明： 本题给出的是数列an 1与an两项之间的递推形式.在第二问中，通过特殊方法，得到 的值，要注意引导学生理解结果并非充要条件，而是必要不充分条件，所以需要

进一步的验证，而且在验证过程中，使用了叠加法，可以为学生说明其结构形式和解题策略要让学生掌握归纳的思想，学会从特殊到一般的思考数学问题的思维过程.

三、统计与概率部分：

1．（理科学生做）

某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩

（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并

获得一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同． ①求该 …… 此处隐藏：7916字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……