数学建模判别分析模型

数学建模判别分析模型

数

学

建

模

培

训

数学建模-

判别分析模型主 讲：陈将宏

数学建模判别分析模型

目

1.问题引入 2.思路点拨 3.判别分析方法

录

4.DNA序列分类问题的求解 5. 参考文献

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1.问题引入首先，我们来考虑一下2000年“网易杯” 全国大学生数学建模竞赛的A题是关于“DNA

序列分类”的问题

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人类基因组中的DNA全序列是由4个碱 基A,T,C,G按一定顺序排成的长约30亿 的序列，毫无疑问，这是一本记录着人类 自身生老病死及遗传进化的全部信息的 “天书”。但是，除了这四种碱基外，人 们对它所包含的内容知之甚少，如何破译 这部“天书”是二十一世纪最重要的任务 之一。在这个目标中，研究DNA全序列具 有什么结构，由这4个字符排成的看似随机 的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部 天书的基础，是生物信息学 (Bioinformatics)最重要的课题之一。

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虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也 发现了DNA序列中的一些规律性和结构。 例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白 质的序列片段，即由这4个字符组成的64种 不同的3字符串，其中大多数用于编码构成 蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于 编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特 别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特 征去研究DNA序列的结构也取得了一些结 果。此外，利用统计的方法还发现序列的 某些片段之间具有相关性，等等。这些发 现让人们相信，DNA序列中存在着局部的 和全局性的结构，充分发掘序列的结构对 理解DNA全序列是十分有意义的。

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作为研究DNA序列的结构的尝试，试对以下序列 进行分类： 问题一：下面有20个已知类别的人工制造的序列 (见附件1),其中序列标号1—10 为A类，11-20 为B类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这 些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。 然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类 别的人工序列(标号21—40)进行分类，把结果 用序号(按从小到大的顺序)标明它们的类别 (无法分类的不写入): A类 ； B类 。

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问题二：请对 182个自然DNA序 列 (http://doc.guandang.net/mcm 00/problems.htm)进行分类。 它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类，并给出分类结果。 看了这道题，我们应当从何 处入手呢，我们应该怎样进行分 析呢……

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一个简单统计模式识别问题 19名男女同学进行体检，测量了身高和体 重，但事后发现其中有4人忘记填写性别， 试问(在最小错误率的条件下)这4人是 男是女？体检数值如下：

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统计模式识别例(续) 待识别的模式：性别(男或女) 测量的特征：身高和体重 训练样本：15名已知性别的样本特

征 目标：希望借助于训练样本的特征建立判 别函数(即数学模型)

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2.思路点拨根据 所给 的20 个已 知类 别的 DNA 序列 所提 供的 信息

细读全题 对未知事物进行分类

问题的 本 质

对另外20个未标明类别 的DNA序列进行分类 对182个自然DNA 序列进行分类

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如果将每个DNA序列都看作样本，那么 该问题就进一步提炼成一个纯粹的数学问题：设有两个总体(类) 和 ， G1 G2 其分布特征(来自各个总体的样本)已 知，对给定的新品 ，我们需要判 X 断其属于哪个总体(类)。 对于上面的数学问题，可以用很多成 熟的方法来解决，例如：

(1)判别分析(3)支持向量机

(2)人工神经网络

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3.判别分析方法判别分析是用于判别样品所属类别的一种 多元统计分析方法。判别分析问题都可以这样 描述：设有 k个 m 维的总体 G1 , G2 , , Gk ,其分布 特征已知(如已知分布函数分别为 F1 ( x), F2 ( x), , Fk ( x) 或者已知来自各个总体的样本),对给定的一 个新样品 X ,我们需要判断其属于哪个总体。 一般来说，根据判别规则的不同，可以得到不 同的判别方法 ，例如，距离判别、贝叶斯 (Bayes)判别、费希尔(Fisher)判别、逐步 判别、序贯判别等。这里，我们简单介绍三个 常用的判别方法：距离判别、贝叶斯(Bayes) 判别和费希尔(Fisher)判别。

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判 别 分 析 方 法

1.距离判别 2.贝叶斯(Bayes)判别 3.费希尔(Fisher)判别 4.判别分析模型的 显著性检验

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3.1 距离判别距离判别的基本思想：样品 X 离哪个总体的距离最近，就判断 X 属于哪个总体。 这里的“距离”是通常意义下的 距离(欧几里得距离：在 m 维欧几里 得空间 R 中，两点X ( x , x , , x ) T 1 2 m 与 ( y , y , , y )T Y 1 2 m 的欧几里得距离，也就 是通常我们所说的距离为 d 2 ( X , Y ) ( X 1 Y1 ) 2 ( X 2 Y2 ) 2 ( X m Ym ) 2 )吗？ 带着这个疑问，我们来考虑这样 一个问题 ：

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, G2 设有两个正态总体G1和， Y ~ N ( 2 ,9 2 ) X ~ N ( 1 , 2 ) 现在有一个新的样品位于 A 处(参见图1)

d2

d1

图 1

d 从图中不难看出： 2 的样品属于总体 G1 呢？

d1

,是否 A 处

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显然不是，因为从概率的角度来看， 总体 G2的样本比较分散，而总体G1 的样 本则非常集中，因此 A 处的样品属于总 体 G2 的概率明显大于属于总体 G1 的概率， A 也就是说， 处的样品属于总体 的“可 G2 G1 能性”明显大于属于总体 的“可能 性”!这也说明了用欧几里得距离来度 量样品到总体距离的局限性。因此，需 要引入新的距离概念——这就是下面给 出的马氏距离。

G2