线代期末试题参考试题及答案

线代期末试题参考试题及答案

（线代试卷）

一、 填空题 2. 若

a11a21

a12a22

a113a123a226

0= 1

=1，则a21

3. 若A为m×n矩阵，则非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充分要条件是 _________

4．设A为8×6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解个数为_____________。

5. 设A为三阶可逆阵，A 1

100

= 210 ，则A*= 321

6.若A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是 1

3

7.已知五阶行列式D=1

15

T

201143410341122

T

52

1，则A41+A42+A43+A44+A45= 31

8.若α=(1k1)与β=(1 21)正交，则k=

二、选择题

1.设行列式

a11a21

a12a22

=m，

a13a23

a11a21

=n，则行列式

a11a21

a12+a13a22+a23

等于（ ）

A. m+n C. n-m 2.设矩阵

B. -(m+n) D. m-n

100

A= 020 ，则

003

A-1等于（ ）

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A.

1 3 0 0

0120

0 0 1

B.

1 0 0 1 2 0 0

0120

0 0 1 3 C.

1

0 3

01 00

0 0 12

D.

00

1 0 3 01

3.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0

B. B≠C时A=0 D. |A|≠0时B=C

C. A≠0时B=C

4.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

5.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

D.所有r阶子式都不为0 C.至少有一个r阶子式不等于0

η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） 6.设Ax=b是一非齐次线性方程组， A. η1+η2是Ax=0的一个解 C. η1-η2是Ax=0的一个解

B.

1

2

η1+η2是Ax=b的一个解

12

D. 2η1-η2是Ax=b的一个解

7.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)<n C.A=0

B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

8.设A是一个n ( ≥3 )阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

9.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）

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A. k≤3 B. k<3

C. k3 D. k>3 10.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.

23

34

34 B. 21

100

C. 02 3 0 35

111 D. 120 102

a1a2b2c2

a3c3

a1 a2 2b2 3c2

a3

11.如果b1

c1

b3=m，则2b1

3c1

2b3 =( ). 3c3

A.6m； B. 6m； C.2333m； D. 2333m。

12. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则A等于． (A) ( 5)nD (B)-5D (C) 5D (D)( 5)n 1D 13. 向量组α1,α2, ,αr线性相关且秩为s，则( ) =Ａ．r=s Ｃ．s≤r

Ｂ．r≤s

Ｄ．s<r

14. 设A、B是m×n矩阵，则( )成立.

A.R(A+B)≤R(A)； B. R(A+B)≤R(B)； C.R(A+B)<R(A)+R(B)； D. R(A+B)≤R(A)+R(B)。 15. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则(kA) 等于_____。

(A)kA (B)knA (C) kn 1A (D) A

16. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。 (A)AB=AC 则 B=C (B) AB=0,则A=0或B=0 (C) (AB)T=ATBT (D) (A+B)(A B)=A2 B2

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17. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 (A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A有n个特征值 (C) 矩阵A的行列式A≠0 (D) 矩阵A的特征方程没有重根

三、计算题

22

1. 计算n阶行列式D=

222222

223 2

。

22 n 12

n22 2

2

2

2

2

100

2．求矩阵的逆A= 110 .

11 1

220

3．已知矩阵方程AX=A+X，求矩阵X,其中A= 213 .

010

4. 设n阶方阵A满足A2 2A 4E=0,证明A 3E可逆，并求(A 3E). x1+x2+λx3=λ2

5. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组 x1+λx2+x3=λ

λx+x+x=1 123

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

6. 求下面非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

x1+x2+x3+x4=2

2x1+3x2+x3+x4=1 x+2x+2x=5

34 1

1

7．求下列向量组的秩和一个最大无关组, 并将其余向量用最大无关组线性表示．

2 1 2 3

===α1= ααα4,1,3,234 5 .

2 0 1 2

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110

8. 求矩阵A= 430 的特征值和特征向量．

102

22

+5x3+4x1x2 4x1x3 8x2x3， 9．已知二次型：f(x1,x2,x3)=2x12+5x2

用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q． 10.试用配方法化下列二次型为标准形

22 3x3+4x1x2 4x1x3 4x2x3， f(x1,x2,x3)=x12+2x2

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题

1.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.

2．设η为AX=b(b≠0)的一个解，ξ1,ξ2 ξn r为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，证明ξ1,ξ2 ξn r,η线性无关。

3．设b1=a1, b2=a1+a2 , , br=a1+a2+ +ar, 且向量组a1,a2, ,ar线性无关，证明向量组b1,b2, ,br线性无关.

（试卷参考答案）

一、填空题

100

2、3；3、R(A)=R(A,b)=n；4、2；5、 210 ；6、R(A)<n；7、0；8、1。

321

二、选择题

1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 9.A 10.C

11、B 12、A 13、D； 14、D 15、C；16、B 17、A 三、计算题

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1、

20

解：Dri r2(i=3,4, ,n)

00

2

2

22 01 00 00

22

2

222

00

n 30

n 20

2

00

r2 2r1

00

2 2

01

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