高等数学_第二章导数与微分习题课

第二章 导数与微分习题课

一、导数与微分的基本概念1.导数定义:f ( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x h 0 x x0 h x x0

2.导数的几何意义:f ( x0 )为曲线 y f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ))的切线斜率。

3. f ( x )在 x 0处可导的充分必要条件：f ( x )在 x0 处可导 f ( x0 )与 f ( x0 ) 都存在，

且 f ( x0 ) f ( x0 ) 。

4. f ( x ) 在 x 0处的可微定义：

y A x 0( x) dy A x f ( x0 ) x

二、极限、连续、可导与可微的关系

f ( x)在x0处可导

f ( x)在x0处可微x x0

f ( x)在x0处连续

lim f ( x )存在

三、求导法则1.四则运算求导法则 (1) [ f ( x ) g( x )] f ( x ) g ( x ) (2) [ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x ) (3) ( g ( x ) 0) 2 g( x ) g ( x) 2.反函数求导法则 设 x f ( y ) 在 I y 区间内单调、可导且 f ( y ) 0 ,则其反 1 函数 y f ( x ) 在对应的 I x 内也可导，且 [ f 1 ( x )]

dy 1 或 。 dx dx dy

1 f ( y )

3.复合函数求导法则 设 y f (u) 及 u g( x )都是可导函数，则复合函数 y f ( g( x )) 也是可导函数且 y ( x ) f [ g( x ) ] g ( x ) 。 4.隐函数求导法则 由方程 F ( x , y ) 0 确定了y f ( x ),方程两端对 x 求导，在 求导过程中牢记 y 是 x 的函数 ( y f ( x )) ,方程中含有 y 的 项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出 y 。 5.参数方程求导 x (t ) , 参数方程 y (t ) , ( t ) 确定可导函数 y f ( x ) ,则

dy ( t ) dx ( t )

d2y 2 dx

( t ) d( ) ( t )

四、高阶导数定义及求导

dx dt ( t ) d( ) ( t ) 1 . dx dt dt

( t ) d( ) ( t ) dt. dx

若函数 f ( x ) 的导函数 f ( x )仍然是可导函数，则将 f ( x )的d2y 导函数叫做函数 f ( x ) 的二阶导数。记作 f ( x ) y 2 dx( n 1 ) ( x)的导函数叫做 f ( x )的 n 阶导数。 依此类推，函数 f

记f

( n)

dny ( x) n 。 dx

五、典型例题 sinx, x 0 【例1】设 f ( x ) ,问 f (0), f (0), f (0)是否存在？ 1 x ), x 0 ln(

分析

计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有 左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

解：

f (0) lim x 0

f ( 0 x ) f ( 0) sin x lim 1 x 0 x x

f ( 0 x ) f ( 0) ln( 1 x) f (0) lim lim 1 x 0 x 0 x x

f (0) f (0) 1, f (0)

1.

1 sin 2 x , x 0 f ( x ) x 【例2】设 ，求 f ( ) 及 f (0) 。 2 x 0 0,

分析 当 x 0时， f ( x )是可导函数，且 f ( x )可利用求导公式 f ( x ) f ( x ) ,后求 及求导法则求出，故求 f ( ) 应选用“先求 2 和 x 处函数值”的方法。而x 0 是分段函数的分段点， 2 因而应用导数定义求。sin2 x x sin2 x sin2 x f ( x ) ( ) 解： 当 x 0 时， x x2 4 f ( ) 2 2 1 sin2 x 0 f ( x ) f (0) lim x 1 当 x 0 时， f (0) lim x 0 x 0 x x

2 1 x 2 , 当x 1 【例3】设 f ( x ) ,已知 f ( x ) 在 x 1处可导， ax b,当x 1

试确定 a , b 的值。 分析 此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 a , b 为未知量的方程。由已知条件 f ( x ) 在分段点 x 1 处可导，

得一个方程 f (1) f (1);又由函数在一点可导必要条件:

f ( x ) 在 x 1处连续，得第二个方程 f (1 0) f (1 0) 。解此联立方程组，可求出 a , b 。

解：因为 f ( x )在 x 1处可导，所以 f ( x ) 在x 1处连续； lim f ( x ) lim f ( x ) f (1) x 1 x 1

2 1= lim ax b a b 即 lim 2 x 1 1 x x 1

b 1 a.f ( x ) f (1) 2 /(1 x 2 ) 1 (1 x 2 ) /(1 x 2 ) f (1) lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1f ( x ) f (1) ax b 1 ax a f (1) lim lim lim a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

f (1) f (1)

a 1; b 2

sinx , x 0 , 【例 4】已知 f ( x ) ,求 f ( x ) 。 x 0, x,

f ( x ) (sinx ) cos x ; 解： 当 x 0 时，

当 x 0 时， f ( x ) ( x ) 1 ;lim 当 x 0 时， f (0) x 0 f ( x ) f ( 0) x lim 1 x 0 x x

f ( x ) f ( 0) sin x f (0) lim lim 1 x 0 x 0 x x

所以 综上，

f (0) 1

cos x , x 0 , f ( x ) x 0, 1,

arctan y e 【例5】设arctan y e 解： x

x

,求 y 。

1 1 ( x)2

1 2 x

e

arctan x

1 2 x (1 x )

1 x

【例6】设 y e 解： y e1 x 1 x

1 x

,求 y 。1 x 1 x

1 x ( ) e 1 x

1 1 x ( ) 1 x 1 x 2 1 x

e

1 x 1 x

1 1 x (1 x ) (1 x ) 2 1 x (1 x )2

1 (1 x )(1 x )3

e

1 x 1 x

x a cos3 t dy 3 | 3 。 【例7】求星形线 在 t 处的导数 3 dx t 4 4 y a sin t

解：

dx 3a 2 | 3 3a cos t sint | 3 t dt t 4 2 2 4

dy 3a 2 | 3 3a sin t cost | 3

t dt t 4 2 2 4故

dy 2 dy 3 a cos t sint dt | 3 | 3 | 3 1 2 dx t 4 dx t 4 3a sin t cos t t 4 dt

【例8】设 y y( x )是由方程 x 3 y 3 sin3 x 6 y 0所确定， 求 y ( 0 ) 。 解：方程两边对 x 求导得

3 x 2 3 y 2 y 3 cos x 6 y 02 3 y (0) y (0) 3 6 y (0) 0 (1) 将 x 0 代入上方程，得

将 x 0 代入原方程， 得 y(0) 0

(2)

1 将(2)代入(1)中得 y (0) 。 2

1 x 【例9】求函数 y arctan 的微分。 1 x 1 x 解： y 2 1 x 1 x 1 1 x 1

2 1 x 1 x 1 x 1 2 2 1 x 1 x 2

1 1 x2所以

dy y dx

1 dx 2 1 x

cos x y x (sin x ) 【例10】设 ，求 y 。

分析

因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。

解：应用对数求导法。函数两边取对数得

ln y ln x cos x lnsinx方程两边对 x 求导得

y 1 cos x sin x lnsin x cos x y x sin x所以

y x(sinx )

cos x

1 ( sin x lnsin x cos x cot x ) x