2020-2021学年山西省大同一中高二上学期期中数学(理)试题(解析版

第 1 页 共 19 页 2020-2021学年山西省大同一中高二上学期期中数学（理）试

题

一、单选题

1

．直线310x -+=的倾斜角是（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．135° 【答案】B

【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.

【详解】

直线的斜率为=60°. 故选：B

【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题.

2．已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ） A ．13-

B ．-3

C ．13

D ．6

【答案】A

【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.

【详解】解：因为//m n ，

所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=，

所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-. 故选：A.

【点睛】本题考查空间向量的共线问题，是基础题.

3．下列说法不正确的．．．．

是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B ．同一平面的两条垂线一定共面；

C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

【答案】D

【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

第 2 页 共 19 页 4．如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30°，则MN 和CD 所成的角的大小为（ ）

A ．15°

B ．75°

C ．30°或60°

D ．15°或75°

【答案】D 【分析】取BD 中点E ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线AB 与CD 所成角为MEN ∠或其补角；根据等腰三角形特点可求得NME ∠，根据异面直线所成角定义可知NME ∠即为所求角.

【详解】取BD 中点E ，连接,ME NE

,,M N E 分别为,,BC AD BD 中点 //ME CD ∴，//NE AB

异面直线AB 与CD 所成角为30 30MEN ∴∠=或

150

AB CD = ME NE ∴= 75NME ∴∠=或15

//ME CD MN ∴和CD 所成角为NME ∠

MN ∴和CD 所成角的大小为15或75

故选D

【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,

2π?? ???，造成丢根的情况出现.

第 3 页 共 19 页 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1

B ．1-

C ．2-或1

D ．2或1

【答案】D

【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．

【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； 当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a

+=--， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a

-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．

故选D ．

【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

6．已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为 A ．20x y -=

B ．240x y --=

C ．230x y +-=

D ．250x y --= 【答案】B

【解析】设直线l 的方程为20x y m -+=,所以220,4m m ++==- 即 直线l 的方程为240x y --= ，选B.

7．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）

A ．25︰1

B ．1︰25

C ．1︰5

D ．5︰1 【答案】D

【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.

【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a

，则3MN a =

，3

MA =，

因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆

的直径也是三棱柱内切球的直径，所以

3 OM MN a

==

，即三棱柱内切球的半径

3

r a

=，

23

AM a

=，所以22

15

OA OM AM a

=+=，即三棱柱外接球的半径

15

3

R a

=，

所以内切球的表面积为22

4

4

3

r a

ππ

=，外接球的表面积22

20

4

3

S R a

ππ

==，

所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22

204

:5:1

33

a a

ππ=

故选：D

【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.

8．若点()

1,1

A关于直线y kx b

=+的对称点是()

3,3

B-，则直线y kx b

=+在y轴上的截距是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3），

由中点坐标公式得AB的中点坐标为()

1,2

-，

代入y=kx+b得2k b

=-+①

直线AB得斜率为

311

.

312

-

=-

--

，则k=2.

代入①得， 4.

b=．

第 4 页共 19 页

第 5 页 共 19 页 ∴直线y=kx+b 为24y x =+ ，解得：y=4．

∴直线y=kx+b 在y 轴上的截距是4．

故选D ．

9

．过两直线x 10+=

0y +-=的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（ ）

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

【答案】B

【分析】

本题首先可以联立方程x 10-+=

0y +-=，得出交点坐标后对与原点的距离等于1的直线的斜率是否存在依次进行讨论，利用点到直线距离公式，最后得出结果． 【详解】

联立方程组–100x y ?+=?+-=

，解得12x y ?=????=??122p ?? ? ???，， 当直线经过点p 且与x 轴垂直时，直线方程为12x =

，到原点的距离不为1，不符合题意；

当直线过点p 且与x 轴不垂直时，

设直线方程为12y k x ??=- ??

?

，即02k kx y -=，

由1d ==

，解得k =，故符合题意的直线只有1条， 综上所述，故选B ．

【点睛】本题考查的是直线的相关性质，主要考查两直线交点坐标以及点到直线距离公式，考查推理能力与计算能力，考查方程思想，是中档题．在设直线方程时一定要考虑到直线斜率不存在这种情况．

10．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ?的最大值是（）

A ．5