北航10秋学期《线性代数》模拟题一

北航10秋学期《线性代数》模拟题一

本复习题页码标注所用教材为：

工程数学（线性代数）

魏战线

2000年10月第2版

辽宁大学出版社

如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、 设A为2008阶可逆方阵，则

A* （ ）

1

A.

1

A*

detA B.

1

A

detA

C.

1 1 1

detAA D. A *

detA参考答案：B

10x111 1 1

2、已知x的一次多项式D ，则式中一次项的系数为（ ）

1 11 11 1 11

（A）4 （B） 4 （C）1 （D） 1 参考答案：B

3、 设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是（ ）

A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关 C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关 参考答案：C

4、设列向量组 1, 2, 3，则与三阶行列式| 1, 2, 3|等值的行列式是（ ） （A）| 1, 1 3, 1 2

3| （B）| 2 3, 3, 1 3 3|

（C）| 3, 2, 1| （D）| 1 2, 2参考答案：C

3, 3 1|

5、 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记

110

P 010 ，则（ ）

001

A．C PAP. C．C PAP. 参考答案：B

T 1

B．C PAP. D．C PAP.

T

1

二、 判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6、

A．对

B．错

参考答案：A

7、 两个对称矩阵一定合同。（ ）

A．对

B．错

参考答案：B

8、

A．对

B．错

参考答案：A

9、 相似矩阵有相同的特征多项式。（ ）

A．对

B．错

参考答案：A

10、

A．对

B．错

参考答案：B

三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

12

11、设四阶行列式

342341341241

，Aij是其 i,j 元的代数余子式，则A31 A33 _______， 23

。 A32 A34 _______

考核知识点：行列式的概念及计算 ，参见 P35 参考答案：68, -48

12、 设实二次型

f x1,x2,x3,x4 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。

考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204

2222

参考答案：z1 z2 z3 z4

ax1

13、线性方程组 x1

3x 1

x2 2x3 3x3 ax3

0

0有非零解的充要条件是a满足_____________. 0

ax2 4x2

考核知识点：齐次方程组解的结构 ，参见 P128

3

参考答案：a 5a 17 0

200

14、 若矩阵A 022正定，则

02

的取值范围是 。

考核知识点：正定二次型与正定矩阵 ，参见 P205 参考答案： 2

2

2*

315、设矩阵A与B . 相似，则A E ___________, |A E| _________ 3

考核知识点：相似矩阵 ，参见 P159

参考答案：192, 280

16、设二次型

f x1,x2,x3 x12 x22 2x32 2x1x2的正惯性指数为p

，负惯性指数为

q，则p q等

于 。

考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204 参考答案：0

17、将二次型

2222222

化为f y1 y2 y3 y4的可逆线性变换为___________. f 4x12 6x2 x3 9x4

考核知识点：化二次型为标准型 ，参见 P194

y1 2

y2 0

参考答案：

y0 3 y 0 4

0600

00 x1

00 x2

03 x3

10 x4

与

18、 设向量 、 的长度依次为2和3，则向量 的内积( , )= 。

考核知识点： 向量及其运算 ，参见 P79 参考答案：-5

19、已知3阶矩阵

A的特征值为1,2,3，则A3 5A2 7E的特征值为___________，A* 3A 2E的特征

值为___________.

考核知识点：矩阵的特征值 ，参见 P149 参考答案：3，－5，－11； 3，7，13

20、二次型

f 2x1x2 2x3x4的规范型为

考核知识点：二次型的规范形 ，参见 P204 参考答案：f 2y1 2y2 2y3 2y4

2

2

2

2

四、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

21、计算行列式

考核知识点：行列式的定义及计算 ，参见 P34 参考答案：

解：

2

22、 设3阶方阵A的三个特征值为 1 1, 2 0, 3 1，A的属于 1, 2, 3的特征向量依次为 1 0 ，

0 0 0

2 1 ，3 2 ，求方阵A。

2 5

考核知识点： 矩阵的特征值与特征向量 ，参见 P149 参考答案：

124 4

23、设矩阵A 2x2 与

42 1

P 1AP .

考核知识点： 相似矩阵的概念及运算 ，参见 P159 参考答案：

解：由A与 相似知tr(A) tr( )，即x 2 y 1；又 4也是A的特征值，故A 4E 0，即

y 相似，求x,y，并求一个正交矩阵P，使得

5

52

4

24

x 42 0，计算得x 4，从而y 5. 2 5

当 1 4时，解方程(A 4E)x 0有，

2

5241 4110 12 3 1

A 4E 2 82 0 189 02 1 ，从而有解 1 1 ，单位化得p1 ；

3

4 2 2 5 2 0189 000

3

当 2 5时，解方程(A 5E)x 0有

424 212 1 1

A 5E 212 000 ，从而有两个正交解 2 0 , 3 4 ，单位化得

424 000 1 1

1 2

1

32 3

2 4 1

；因此所求得正交矩阵p2 0 ,p3 P (p,p,p) 123 3321 12 2 3 32

24、已知非齐次线性方程组

1

20 12

32 4

. 32 1

32

1

（1） 求方程组系数矩阵A的秩r(A)。 （2） 求a,b的值。

考核知识点：非齐次方程组解的结构 ，参见 P137 参考答案：

25、

考核知识点： 齐次方程组解的结构 ，参见 P128

参考答案：

五、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）

26、设B为n 2阶矩阵, 证明：B B

*

n 1

.

考核知识点： 矩阵及行列式的运算，参见 P13，P34 参考答案：

证明：当B可逆时，B BB

*

*

1

BB 1 B

n 1

nn 1

*

；当B 0时，有B 0，从而B 0 B

*

n 1

；

当B 0且B不可逆时，有B 0 B B与B 0矛盾； 综上所述知结论成立。

, 否则，B*必可逆，从而由B*B BE 0知必有B 0，