历届西部数学奥林匹克试题

目录

2001 年西部数学奥林匹克 (2)

2002 年西部数学奥林匹克 (4)

2003 年西部数学奥林匹克 (6)

2004 年西部数学奥林匹克 (7)

2005 年西部数学奥林匹克 (8)

2006 年西部数学奥林匹克 (10)

2007 年西部数学奥林匹克 (12)

2008 年西部数学奥林匹克 (14)

2009 年西部数学奥林匹克 (16)

2010 年西部数学奥林匹克 (18)

2011 年西部数学奥林匹克 (21)

2012 年西部数学奥林匹克 (23)

x ，x = x + .证明：x 使得x ?1

是一个完全平方数.

2 2001 年西部数学奥林匹克

1. 设数列{x n }满足x 1 = 1 n 2

n +1 n n 2 2001 （李伟固 供题）

2. 设 ABCD 是面积为 2 的长方形，P 为边 CD 上 的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边 AB 的切点.乘积PP ? PP 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化，当PP ? PP 取最小值时，

（1） 证明：PP ≥ 2PB ；

（2） 求PQ ? PQ 的值.

（罗增儒 供题）

3. 设 n 、m 是具有不同奇偶性的正整数，且 n >m .求所有的整数 x ， 2n x 2m ?1 （潘曾彪 供题）

4. 设x 、y 、z 为正实数，且x + y + z ≥ xyz .求x 2+y 2+z 2

的最小值.

xyz （冯志刚 供题）

5. 求所有的实数 x ，使得[x 3] = 4x + 3.这里[y ]表示不超过实数 y 的最大整数.

（杨文鹏 供题）

6. P 为⊙O 外一点，过 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A 、B .设 Q 为 PO 与 AB 的交点，过 Q 作⊙O 的任意一条弦 CD .证明：△PAB 与 △PCD 有相同的内心.

（刘康宁 供题）

7. 求所有的实数x ∈ ?0, π?，使得(2 ? sss 2x ) sss ?x + π? = 1，并证 2 4

明你的结论.

（李胜宏供题）8. 我们称P1, P2, ? , P n为集合A 的一个n 分划，如果

（1）P1∪ P2∪ ? ∪ P n = P；

（2）P i∩ P j≠ Φ, 1 ≤ s < j≤ s.

求最小正整数m，使得对P = {1,2, ? , m}的任意一个14 分划

P1, P2, ? , P14，一定存在某个集合P i(1 ≤ s≤ 14)，在P i中有两个元素a、b 满足b < a≤ 4b.

3

（冷岗松供题）

2002 年西部数学奥林匹克

1. 求所有的正整数n，使得s4 ? 4s3 + 22s2 ? 36s + 18是一个完全平方数.

2.设O 为锐角△ABC 的外心，P 为△AOB 内部一点，P 在△ABC 的三边BC、CA、AB 上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD 为邻边的平行四边形位于△ABC 内.

3.考虑复平面上的正方形，它的4 个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4 + px3 + qx2 + rx+ s= 0的4 个根.求这种正方形面积的最小值.

4. 设n 为正整数，集合P1, P2, ? , P n+1是集合{1,2, ? , s}的n+1 个非空子集.证明：存在{1,2, ? , s + 1}的两个不交的非空子集{s1, s2, ? , s k}

和{j1, j2, ? , j m}，使得P i

1 ∪ P i

2

∪ ? ∪ P i

k

= P j

1

∪ P j

2

∪ ? ∪ P j

m

.

5. 在给定的梯形ABCD 中，AD∥BC，E 是边AB 上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC 的外心.求证：O1O2的长为一定值.

6. 设s(s≥ 2)是给定的正整数，求所有整数组(a1, a2, ? , a n)满足条件：

（1）a1+a2 + ? + a n≥ s2；

（2）a2 + a2 + +a2 ≤ s3 + 1.

1 2 n

7. 设α、β为方程x2 ?x? 1 = 0的两个根，令a n= αn?βn

, s = 1,2, ?.α?β

（1）证明：对任意正整数n，有a n+2 = a n+1+a n；

（2）求所有正整数a、b，a < b，满足对任意正整数n，有b 整除a n? 2sa n.

8. 设S = (a1, a2, ? , a n)是一个由0，1 组成的满足下述条件的最长的数列：数列S 中任意两个连续5 项不同，即对任意1 ≤ s < j≤ s? 4，a i, a i+1, a i+2, a i+3, a i+4与a j, a j+1, a j+2, a j+3, a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4 项与最后面的4 项相同.

i =1

n

i

2003 年西部数学奥林匹克

1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上 的任意三个数之和均不小于 10.求每一个面上四个数之和的最小值.

2. 设 2n 个实数a 1, a 2, ? , a 2n 满足条件∑2n?1(a i +1 ? a i )2 = 1.求 (a n +1+a n +2 + ? + a 2n ) ? (a 1+a 2 + ? + a n )的最大值.

3. 设 n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数 d ，任意u n 个连续的正奇数中能被 d 整除的数的个数不少于奇数 1,3,5, ? ,2s ? 1中能被 d 整除的数的个数.

4. 证明：若凸四边形 ABCD 内任意一点 P 到边 AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则 ABCD 是平行四边形.

5. 已知数列{a n }满足：a 0 = 0，a n +1 = ka n + ?(k 2 ? 1)a 2 + 1, s = 0,1,2, ?,其中 k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数， 且2k |a 2n , s = 0,1,2, ?.

6. 凸四边形 ABCD 有内切圆，该内切圆切边 AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为 A 1、B 1、C 1、D 1，连结 A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点 E 、 F 、G 、H 分别为 A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1 的中点.证明：四边形 EFGH 为矩形的充分必要条件是 A 、B 、C 、D 四点共圆.

7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑5 1

= 1.求证： ∑5 x i ≤ 1. i =1 1+x i i =1 4+x 2 8. 1650 个学生排成 22 行、75 列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过 11 对.证明：男生的人数不超过 928.

a

2004 年西部数学奥林匹克

1. 求所有的整数 n ，使得s 4 + 6s 3 + 11s 2 + 3s + 31是完全平方数.

2. 四边形 ABCD 为一凸四边形，I 1、I 2 分别为△ABC 、△DBC 的内心， 过点 I 1、I 2 的直线分别交 AB 、DC 于点 E 、F ，分别延长 AB 、DC ，它们相交于点 P ，且 PE =PF .求证：A 、B 、C 、D 四点共圆.

3. 求所有的实数 k ，使得不等式a 3 + b 3+c 3 + d 3 + 1 ≥ k (a + b + c + d )对任意a 、b 、c 、d ∈ [?1, +∞)都成立.

4. 设s ∈ N +，用d (s )表示 n 的所有正约数的个数，?(s )表示1,2, ? , s 中与 n 互质的数的个数.求所有的非负整数 c ，使得存在正整数 n ，满足d (s ) + ?(s ) = s + c ，且对这样的每一个 c ，求出所有满足上式的

正整数 n .

5. 设数列{a n }满足a 1 = a 2 = 1，且a n +2 =

1 n +1 + a n , s = 1,2, ?.求a 2004.

6. 将m × s 棋盘（由 m 行 n 列方格构成，m ≥ 3, s ≥ 3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果 2 个相邻（有公共变）的小方格异色， 则称这 2 个小方格为 1 个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为 S .试问： S 是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下 S 为奇数？什么情况下 S 为偶数？说明理由.

7. 已知锐角△ABC 的三边长不全相等，周长为 l ，P 是其内部一动点，点 P 在边 BC 、CA 、AB 上的射影分别为 D 、E 、F .求证：2（PB + PD + BB ） = l 的充分必要条件是：点 P 在△ABC 的内心与外心的连线上. 8. 求证：对任意正实数 a 、b 、c ，都有1 < a √a 2+b 2 + b √b 2+c 2 + c √c 2+a 2

≤ 3√2. 2

i =1 i =1

2005 年西部数学奥林匹克