郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案

郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案

郑州大学2013—2014学年度第一学期

期末考试微积分试卷

考试时间：2小时

考试方式：闭卷

复查总分总复查人

得分评卷人

一、求解下列各题（每题5分，共50分）

1．求极限lim arctanx x ＝1

x

2

【解】lim arctanx x limx

x 22．设函数y

arctanxx

12x2 lim lim 1.

x x 1 x2 2x

xx 1

2

，求它在x 0处的导数和微分.

1.x2 1 x.

解：y

xx2 1

2

x 12

2

x 12

1

3

；

dy y dx

所以

x 1x 0

x20

1

3

dx.

，y 0 1，dy|

y

t20

dx.

dy.dx

3．已知 edt costdt，求【解】方程两边关于x求导得

2 eyy cosx2x2.

即

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y 2xcosx2e y. x sint,

4.设曲线方程为

y cos2t.

①

求曲线在点t

2

4

处的切线方程.

【解法一】

dydx 2sin2t； cost.因dtdt

dydydx 2sin2t 4sint.故

dxdtdtacost当t

4

时，由①式算得x

2 2

,y 0，因此切点坐标为 ,0 ， 2 2

又曲线在点t

4

处的切线的斜率为

k

所以，曲线在点t

dy2

4 22.|

dxt 42

4

处的切线方程为

2

.y 0 22 x

2

【解法二】由①式消参得

y 1 2sin2t 1 2x2，

即

y 1 2x2.

当t

①

4

时，由①式算得x

2 2

,y 0，因此切点坐标为 ,0 ； 2 2

2

又曲线在点 2,0 处的切线的斜率为

k

dy

|dxx

2

4x|

x

2

4

2

22.2

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所以，曲线在点t

4

处的切线方程为

2

.y 0 22x 2

5.求

1

.x

1 e

1e x1 x x

【解法一】 1 e ln1 e C；x x x 1 e1 e1 e

11 ex ex1xx【解法二】 dx 1 ex 1 ex 1 ex1 e x ln1 e C；

【解法三】令ex t，即

1

x lnt，dx dt，则

t

1111 11 1 dt dt 1 ex 1 tt t1 t t 1 t 1 t

ex lnt ln t C ln C；

1 ex

【解法四】令ex tan2t，即

x 2lntant，dx 2

1

sec2tdt，则tant

1exex

1 ex 2 cottdt 2lnsint C 2ln1 ex C ln1 ex C.

6.求

1 lnx

xlnx2

.

1

1

C.xlnx

【解】

1 lnx

xlnx 2

xlnx 1 lnx dx xlnx d xlnx 2

2

7.求 2sin3xdx.

【解法一】 2sin3xdx

2!!2

；3!!3

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3

【解法二】 2sinxdx 2

1 223

1 cosxd cosx cosx cosx .

3 03

2

1

.

01 x

【解】原积分即为8.求 ln

1

1

ln 1 x dx（令t 1 x） lntdt lnxdx.

11

lnx ，所以上述积分为广义积分.因为lim

x 0

lnxdx lim lnxdx lim ln 1 1.

11

0

0

0

1

其中

0

lim ln lim

0

ln

lim lim 0. 0 01 2

9.求解微分方程y y 3 y .①

【解】①为可降阶的高阶微分方程.令y p y ，则y p①可化为

dp，dy

p

即

dp

p3 pdy

dp 2

p p 1 dy 0.

当p 0时，由②式得到

②

dp

p2 1.dy

③为可分离变量型，由③得到

③

1

1 p2 dy

即

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arctanp y C1，故有p tan y C1 ，也就是dy

tan y C1 .dx

④为可分离变量型，由④得到

1

tany C1 dx

即

④

lnsin y C1 x lnC2

化简得

sin y C1 C2ex

为①的通解.又注意到当p 0时，当y 0时，可得①的平凡解y C.10.求方程y 2y y xex ex

①

的一个特解.

【解】与①对应的齐次方程的特征方程为

r2 2r 1 0

，解之得，r1 r2 1.

由①的右端项 x 1 ex可见，因 1是重特征根，故可设①的特解为

y* x2ex ax b ，即y* exax3 bx2

由②得，

②③④

y* exax3 bx2 3ax2 2bx；

y* exax3 bx2 6ax2 4bx 6ab 2b

将②、③、④代入①有

ex 6ax 2b x 1 ex，即

6ax 2b x 1

⑤

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比较⑤式知

6a 1,

，解之得

2b 1,

1

a , 6

b 1. 2

1 1

故y* x2ex x .

2 6

二、求解下列各题（每题10分，共20分）

1．（1）设平面图形A由抛物线y x，直线及x轴所围成，求平面图形A绕x轴旋转一周所形成的立体体积.

2

得分评卷人

（2）在抛物线y x2上求一点，使得过此点所作切线与x 8及x轴所围成图形面积最大.

【解】（1）

V x2dx

8

2

5

85.

（2）在曲线y x2上任取一点t,t2，则曲线在该点处切线斜率为

k y t 2x|

x t

2t.

从而曲线在该点处切线方程为

y t2 2t. x t

①中令y 0，解得

①

x

t

；令x 8，解得2

y 16t t2.②

所以曲线在该点处的切线与两直角边y 0,x 8围成的三角形面积为

1 t 1

S t . 8 .16t t2 t3 8t2 64t. 0 t 8

2 2 4

③④

令S t

321

t 16t 64 3t2 64t 256 0，44

16

得t 16.（舍）或者t .

3

又因为S t

116 9616 6t 64 ，S 0，所以当t 时，S t 取到最大 4123 3

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16 512

值，为S

3 27 16256

.即所求点为 , .

39

【注意】也可以这样求S t 的最值：由③

1 t

S t . 8 .16t t2

2 2

1

. 16 t .16 t .2t（均值不等式）8

1 16 t 16 t 2t 1 16 512

. . 8 38327

3

3

⑤

⑤式中等号当且 …… 此处隐藏：2867字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……