关于R_n中的Gauss型求积公式

杭州师院学报

自然科学版

年

第

期

关于

中的沈

型求积公式光星

本文指出〔〕定理中

是错误的,

。

在关于多项式次数的第二种定义下,

,

给出了

户中的

型求积公式

它的代数精确度为

且数位稳定

。

对于一元的数值积分留

,

通过积分插值公式二

,

可得如下的插值型求积公式

习

、

‘

这里。

,

如是实轴上的有限或无限区间,

留,

是一个确定的函数而与求积函数了

,

称为权函数无关,

‘

称为求

积公式的系数

它只依赖于权函数和积分区间,

‘

称为求积公式的称为

基点

若基点取作型求积公式众所周知,

如上带权函数它的基点称为

留

的正交多项式

的零点

则求积公式。

,

型基点。。

。

个基点的、

型求积公式具有。。

次代数精确度如何把一元的

型求积公式

因具有基点少精度高

数值稳定等显著特点而经常被采用,

对于多元的数值积分

在〔〕,

、

〕已有很多论述中

型求积公式推型求积

广到公式,

’

中去呢

于光仪在〔〕中

试图通过砂中的

插值来建立户中的

中他得出下面的〔〕定理设数值租分公式一‘了

定理

气一一一、月

产

,,

,

…”

,

,

,

…·

,

澎

艺

‘

的计值点。十,,

‘

,

,

…。

,

一

“

为

中‘十

次正交多项式,

、一

的零点取

。

,

,

…

,

的共同零点作为,

,

的零点,

则公式

具有。

次代数精确度

。

上述定理

,

文字上含糊不清

证明文不对题,

因此根本是错误的,

作为户中的多项式

》

艺,

,,

…

,

”

“‘

…

,

,’

,

打兀

其次数可有两种不同的定

义

。

第一种定义是

,

若习。

毛,,

则称

对为次多项式

第二种定义是若镇,,

、

,

不

,

则称

为次多项式

事实上,

如果以个基点的变动来换取代数精度的提高,

则在第一

种关于多项式次数的定义下”

可能达到的次数尤”

一般说来应满足下不等式

、

丈,

‘

。

在

的情况,,

,

上述不等式取等号,

即。

,

〔〕中作者想把这个在,

二

时的简单关系,

生搬到高维情况,

是不可能的。

换句话说

对

,

在第一种关于多项式次数例如,

的定义下关

我们不能构造出具有而无,。。

次代数精确度的求积公式,,,

,

当

时由

,

推出

另一方面

从定理的结果来看又与第二种关于

多项式次数的,

定义发生联系度的求积公式设。

很明显如果按第二种定义理解代数精确度是不能期望利用第一种定义下的在第二种定义下理解代数精确度,

插值达到目的的,

要构造具有,

次代数精确,

可仿照〔〕方法构造乘积公式的。

而这乘积公式…,。,

对于确定的区域‘

可通过,,

单变量公式的组合来得到

为

维…。,

空间‘

”

的子集‘,

,

”

二,

,

其中…,

为实数集合,

,

巨

,

又设

,

劣

,

〔

‘

‘

,

‘,

…

,

,‘

〔

对每一定义在设权函数都为

,

上的单变量函数‘’无十

了

,

通过

个基点均可建立求积公式以下不妨假

丁

,

己“一’

二

习

‘

‘

,

,

由这几个单变量的求积公式…

,

可得到,

“

中的乘积公式

仃脚这求积公式的系数‘‘,‘

…

一,

耳兰,

…艺

‘

…又呈

。‘

‘

王…仅与‘

、,

护、

幼有关

以下可以看出。‘,

,

为了使求积公式具有‘‘,

次代数精确度。

,

这

…

,‘

其实为

…

计值点汀

‘,

二…

,

,、

,

是这江妇,。

中的网格点在第二种关于多项式次数的定义下我们有定理形如,

,

如何使求积公式

具有较高的代数精确度呢,

的求积公式具有

次代数精确度的充要条件是型基点,

每一组‘·

二‘·

翔…不是江证明‘‘

在‘·

,

上的,。

十

个‘

求积公式的系数是了,

‘

盆

…

,,

等于

‘

充分性‘·

若每一组则,

,

,‘

不瓦万,

在

,

上的

个十,

型基点,:,

,

且

二…

,

中的几个求积公式对所有次数不超过,

次的多项式都是精声

确成立的

,

所以对于一切 n z -2一一{ (、 -

…

,

,

’

‘玉

…

,

”’,

蕊n

镇

有

、

z

一一一一、

一一、

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二;

,

二2

,

…

,

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二2。:

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吕1, 2

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M

‘若某一 l>

立

,

中第宕个求积公式不精确成

立 )所以求积公式 (4的代数精确度为 Z k+ 1k 2+ 1,。

则 (3 )

,

导致求积公式 (4 )也不精确成十 1

必要性

由于求积公式 ( 4具有 2 ) k、;· …… 此处隐藏：4399字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……