Z变换和离散系统的Z域分析

Z变换和离散系统的Z域分析

五 Z变换和离散系统的Z域分析 一、Z变换及收敛域 1..Z变换定义: 离散序列x(n)={ ……, x(-1), x(0) ,x(1), …}的Z变换X(z)定义为： X(z)= …+ x( 1) z +1

x(0) z + x(1) z0

1

+ x(n) z n + +

=X(z)是

n = ∞

x ( n) z n ∑

∞

-----双边Z变换

z 1 的幂级数, 是x(n)为系数的罗朗级数，z n 的系数就是x(n)。∞

-------X(z)称为x(n)的Z变换式。

x ( n) z n X(z)=Z[x(n)]= ∑n =0

---单边Z变换

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2. Z变换收敛域的讨论 a. 收敛域定义：对于有界序列x(n),使其Z变换式收敛的所有z值的 集合，称Z变换X(z)的收敛域。 即满足：n = ∞ ∞

∑

x(n) z n < ∞ 的z取值范围。

由级数理论：级数x(n) Z n 收敛的充要条件是满足绝对可和 的要求， 即： x(n) z n < ∞ ∑n = ∞ ∞

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a n (n ≥ 0, 例1: x(n)= 0(n < 0)

a为正实数

解:

X ( z ) = 1 + az

1

+ az

(

1 2

) + (az )

1 3

+ + az

(

1 k

)

+

1 ( az 1 ) ∞ X(z)用求和公式表示成闭合形式： 1 az 1az 1 < 1或 z > a

z >a

z = z a

时， 该无穷级数绝对收敛。

反之，收敛的级数，才能利用求和公式表示成闭和形式。

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级数收敛判别法： n 将 x(n) z 记为

anan

a:比值判别法：

lim an+1n→∞n

=r

b: 根值判别法： lim

n→ ∞

an = r

{r<1(级数收敛),r=1未知(大部分发散),r>1(级数发散)}

N项等比级数:

a1 q n 求和公式： ∑n =0

N 1

a1 (1 q N ) Sn = 1 q

a1 是级数的第一项， a1 q n 1 是第n项。 其中：

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收敛域的几种情况： a, 圆外收敛：右序、负幂。 b, 圆内收敛：左、正幂。 c, 圆环收敛：左右序之和，即有正负幂。 d, 收敛域为全平面(可能包含z=0 z=∞):为有限长序列。Im[z] Im[z] |a | |a | o Re[z] o Re[z] o |b ||a|

Im[z]

Re[z]

(a)

(b)

(c)

图 收敛域的几种情况

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a n (n < 0, 例2:x(n)= 0(n ≥ 0) 解：X ( z) =

a为正实数

n = ∞

∑ a n z n =

1

z z a

z <a

结论：和上式比较，不同序列可以有相同的Z变换式，但收敛域不同。n n 例3.求x(n) = a u (n) b u ( n 1)

的Z变换。

解： X ( z ) = ∑ a zn n =0

∞

n

n = ∞

∑b z

1

n n

= ∑a zn =0

∞

n n

+ 1 ∑ b n z nn =0

∞

a 若：a<b ,收敛域： < z < b 时，原式 =若：

z z + z a z b

a≥b

在全平面不收敛。

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d. 有限长序列 : 三种情况: 收敛域:

X ( z) =

n = n1

∑ x ( n) z

n2

n

(n1 < n2 )

n1 < n 2 ≤ 0

0≤ z <∞

0 ≤ n1 < n2n1 < 0, n 2 > 0

0< z ≤∞

0<|z|<∞

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3.几种常见序列的Z变换 a, 单位函数序列: δ(n)Z [δ (n )] =

n = ∞

δ (n)z n =1 收敛域为全平面 ∑

∞

例：f1 (k ) = δ (k m), m为正整数.b,单位阶跃序列: u(n)

Z [u (n )] =

n = ∞

∑ u (n)z∞

∞

n

z = z 1

|z|>1

a n u(n) c,指数序列:n n = Z[a u(n)] = ∑ a z

n

n = ∞

1 z = 1 az 1 z a

|z|>a

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d,单边正弦序列

sin(ω0 n)u ( n) 和余弦序列 cos ω0 n)u (n) (

指数序列中：令a=

e

jω0

得复指数

e

jω 0

u(n) 的Z变换:

z jω 0 z e

收敛域

e jω 0=1 |z|>

z z = = z ( z 2 cos ω 0 ) + jz sin ω 0 则： z e jω 0 z cos 0 j sinω0 ω z 2 z cos ω 0 + 1又∵

z e

[

jω 0 n

( u ( n ) = z[cos ω0 n)u (n )] +

]

jz [sin ω0 n)u (n)] (

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e, 矩形序列 R N (n)

1 z N Z [R N ( n) ] = 1 z 1

〈z ≤ ∞ 0

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二 Z 反变换 1幂级数展开法(长除法)2 z +z 例 已知 F ( z) = 2

z 2z + 1

,

|z|>1,求F(z)的原函数f(k)。

解 因为F(z)的收敛域为|z|>1,所以其原函数为因果序列。

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即：

z2 + z 1 2 F ( z) = 2 = 1 + 3z + 5 z + z 2z + 1于是得：

k < 0, f ( k ) = 0 k ≥ 0, f (0) = 1, f (1) = 3, f ( 2) = 5,

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1 部分分式展开法 〈1〉X(z)部分分式展开，用比较法确定系数. 〈2〉根据收敛域条件确定每一公式的反Z变换. Z变换的基本形式:

1 → 序列 δ ( n) z z > a[ a n u ( n]右序) n z a z < a[ a u ( n 1)]左序 a. X(z)/z 有N个单极点则：

Z1 Z N

Ai z X (z ) = ∑ i = 0 z zi

N

X ( z) Ai = ( z zi ) z = zi z

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b X(z)有一个r阶重极点 Z 1 N r Aj z Ai z X ( z ) = A0 + ∑ + ∑ j j =1 ( z z1 ) r +1= 0 z z i 1 d (r j) r X ( z) Aj = [ ( r j ) ( z z1) ] z = z1 ( r j )! dz z A 是X(z)/z的极点留数.

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例： 已知

求F(z)的原函数f(k)。 解

z +2 F ( z) = , z > 2, ( z 1)( z 2)2

因为F(z)的收敛域为|z|>2,所以f(k)为因果序列。

F ( z) 的极点全为一阶极点，可展开为： z

F ( z) z +2 K1 K 2 K3 = = + + z z ( z 1)( z 2) z z 1 z 22

求K1、 K2、K3, 得

F ( z) K1 = z z

z =0

=1

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F ( z) K 2 = ( z 1) z F ( z) K 3 = ( z 2) z

z =1

= 3 =3

z =2

于是得：

F ( z) 1 3 3 = + z z z 1 z 2故：

3z 3z F ( z) = 1 + z 1 z 2

|z|>2