山东大学《高等数学》期末复习参考题 (20)

山东大学高数期末考试复习题

山东大学《数学分析III》期末复习参考题

一.选择题（共 10 小题，40 分） 1.函数

x2 y2,xy 0

在（0，0）点处（ ）。 f(x,y)

xy 0 1,

A）不存在偏导数； B）存在函数极限；

C）存在两个偏导数但不连续； D）存在两个偏导数且连续。 2.下列命题关于

。 f(x,y)在P0(x0,y0)的全微分描述错误的是（ ）

A）dz是 x与 y的线性函数； B）dz与 z之差比 为高阶无穷小； C）D）

f(x,y)在P0(x0,y0)可微，则f(x,y)在P0(x0,y0)连续；

f(x,y)在P0(x0,y0)存在两个偏导数，则在f(x,y)在P0(x0,y0)一定可微。

y

dz

3.函数z x(x 0)，而x sint,y cost,则。 （ ）

dt

A）yxC）yx

y 1

cost xysintlnx； B）yxy 1cost xysintlnx； sint xycostlnx； D）yxy 1sint xysintlnx。

''''(x0,y0) fyx(x0,y0). f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域G( ),则fxy

y 1

4.如果函数A）B）C）D）

''

fxy(x,y),fyx(x,y)存在且在P0(x0,y0)连续； ''fxy(x,y),fyx(x,y)存在且可导;

''''fxy(x,y),fyx(x,y)存在且在P0(x0,y0)连续； ''''fxy(x,y),fyx(x,y)存在。

x arsin cos

5.坐标变换 y brsin sin ，（a，b，c为正常数）的函数行列式的值为（ ）. z crcos

A） r B） abcr C）r

2

sin D）abcr2sin

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6.无穷积分

。 e xdx, 0xe xdx的值分别为（ ）

2

A）1，0.5 B）0.5，1 C） 1，1 D） 0.5，0.1 7. 关于无穷积分

1

1

。 dx的结论错误的是（ ）

x

A）

1时 1 1时 1

1 1

收敛； B）时 1dx 1 dx发散；

xx

111收敛。

； D） 0时dx dx

x 1x

1

C）

8.下列非 函数性质的选项为（ ）。 A）

0, ( 1) ( )； B） n N , (n 1) n!；

C） 函数为定义域上的非连续函数； D） 函数为定义域上的连续函数. 9.下列积分不是求平面区域面积公式的是（ ）。 A）

b

a

1

f(x)dx； B） xdxdy；C） dxdy； D）xdy ydx.

SS2C

。 y2 a2，则xy2dy x2ydx （ ）

C

10. C为圆周线x2

A）

a2； B）a4； C） a

22

2

； D） a。

4

221 22x y 0(x y)sin2, 二、f(x,y) x y2x2 y2 0在（0，0）点：

0,

1. 是否可微；2.偏导数是否连续。（10分）

3z三、设z e,t x 2y,求z关于x和y的二阶偏导数和.（10分） 2

y x

t

2

x

四、求无穷积分K esin2xdx。（10分）

222

F(x,y,u,v) u v x y 0

五、验证方程组 在点(x0,y0,u0,v0) (2,1,1,2)的

G(x,y,u,v) u v xy 1 0

邻域满足隐函数组存在条件，从而在点（1，2）的邻域存在唯一一组有连续偏导数的隐函数组

x x(u,v)，求 x y（10分）

,.

u u y y(u,v)

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六、求函数（10分）

a23

f(x,y,z) x y z在曲面xyz (),(a 0为常数)上的最小值。

3

2

2

2

2

2

2

七、证明：若

f(x)在[0,a]上连续， x [0,a]，有

g(x)

x1n 1(n)

，则(x t)f(t)dtg(x) f(x)（10分） 0

(n 1)!

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《数学分析III》期末试卷20答案与评分标准

一、（每题4分，共40分）

1-5：CDACD 6-10：ADCBB

二、解： 1.a：由定义

fx'(0,0) lim

x 0

f( x,0) f(0,0)

lim x 0

xf(0, y) f(0,0)

lim y 0

y

( x)2sin

x( y)2sin

x

1( x)21( y)2

0，

fy'(0,0) lim

y 0

0，

（2分）

df fx'(0,0) x fy'(0,0) y 0， dz是 x与 y的线性函数；

（4分）

b：设 x2 y2，

f f( x, y) f(0,0) ( x2 y2)sin 2sinlim 0

1

x2 y2

1

2

sin

1

df f

2

0， dz与 z之差比 为高阶无穷小；

由a与b，f(x,y)在(0,0)可微.

（6分）

2. (x,y):x

2

y2 0,有fx'(x,y) 2xsin

12x1

cos222222

x yx yx y

当y

x时，limfx'(x,y) lim(2xsin

x 0x 0

111

cos)不存在。 22

2x2x2x

fx'(x,y)在(0,0)间断，同理，fy'(x,y)在(0,0)也间断。

（10分）

三、解：

山东大学高数期末考试复习题

z z t 2xex x t x

2

2y

；

z z t 2ex y t y

2

2

2y

；

2z2x

4xe2

x

2

2y

2e

x2 2y

2zx

4e；

y2

2y

； （6分）

2z

4xex

x y

四、解：

2

2y

2z 3z2x 8xe；2

y x y x

2

2y

4ex

2

2y

。

（10分）

1

K 0esin2xdx 0e xd( cos2x)

2

x

11 1 x

e( cos2x)0 0( e)d( sin2x)

222

x

（6分）

11 x11 x11

(esin2x0 0esin2xdx) K 222224 K

五、解：

1)

2

（10分） 5

F F F F 2x, 1, 2u, 2v, x y u v

在(2,1,1,2)的邻域连续；

G G G G

y, x, 1, 1, x y u v

（4分）

F(2,1,1,2) 02） ；

G(2,1,1,2) 0 (F,G) 2x

3）J

(x,y) y

在(x0,y0) (2,1)处，J

1

2x2 y， x

7 0； （6分）

由1）2）3），方程组满足定理3条件，在(2,1,1,2)的邻域存在唯一一个具有连续偏导数的隐含数组

山东大学高数期末考试复习题

x x(u,v)

，且

y y(u,v)

x2xu 1 x y F 2 2u 2x 0 u u2x y u u

。

G x y y (2x 2yu) 1 y x 02 u u u2x y u

（10分）

六、解：求解条件极值

f(x,y,z) x2 y2 z2；

2

2

2

a23

限制条件xyz () （3分）

3

由拉格朗日乘数法：

a23

设 (x,y,z, ) x y z (xyz ()) （5分）

3

2

2

2

2

2

2

x y z

2x 2 xy2z2 0 2y 2 x2yz2 0 2z 2 x2y2z 0a23

xyz () 0

3

2

2

2

(1)(2)(3)(4)

（8分）

a23

(1) x 2x 2 xyz 0 x ()

3

2

2

2

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