2012全国高中数学联赛一试试题参考答案_B卷

2012全国高中数学联赛一试试题参考答案_B卷

２０１２年全国高中数学联赛试题（Ｂ卷）

参考答案及评分标准

说明：

１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准。填空题只设８分和０分两档；解答题第９题４分为一个档次，第１０、１１题５分为一个档次。不要再增加其他中间档次。

２、对于解答题，如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．

１．对于集合{ｘ我们把ｂ－ａ称为它的长度．设集合Ａ＝{ｘ＋１９８１}，}，│ａ≤ｘ≤ｂ│ａ≤ｘ≤ａＢ＝{ｘ－１０１４且Ａ、Ｂ都是集合Ｕ＝{ｘ０１２则集合Ａ}，}的子集，│ｂ≤ｘ≤ｂ│０≤ｘ≤２∩Ｂ的长度的最小值是

解：　９８３．

因为Ａ、Ｂ都是集合Ｕ的子集，所以０１，１０１４０１２．≤ａ≤３≤ｂ≤２所以Ａ－１０１４＋１９８１或Ａ}，}∩Ｂ＝{ｘ│ｂ≤ｘ≤ａ∩Ｂ＝{ｘ│ａ≤ｘ≤ｂ．

故当且仅当ａ＝０，ｂ＝２０１２，或ａ＝３１，ｂ＝１０１４时，集合Ａ最小值为１９８１－９９８∩Ｂ的长度最小，＝１０１４－３１＝９８３．

２．已知ｘ＞０、ｙ＞０，且满足

ｉｎ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝０，　　　　　　ｓππ

２２

ｘ－ｙ＝１２．

．

{

２ｃｏｓ（ｘ）＋２ｓｉｎ（ｙ）＝１，　　　①ππ

②③

则有序数对（ｘ，ｙ）解：　（４，２）．

由①、ｉｎ（ｘ）［２＋ｓｉｎ（ｘ）］＝０．②得ｓππ因为２＋ｓｉｎ（ｘ）＞０，所以ｓｉｎ（ｘ）＝０．ππ代入②得　ｓｉｎ（ｙ）＝０．π从而，ｘ、ｙ均为正整数．

２

由③得（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＝１２＝２×３．

又ｘ－ｙ与ｘ＋ｙ具有相同的奇偶性，且ｘ－ｙ＜ｘ＋ｙ，所以　　　　　　

{

ｘ－ｙ＝２，ｘ＝４，

　　解得

ｘ＋ｙ＝６．ｙ＝２．

{

故（ｘ，ｙ）＝（４，２）．

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２２ｘｙ

　　３．如图１，设椭圆２２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ、１

ａｂ

Ｆ，过点Ｆ（ｘ，ｙ）、Ｂ（ｘ、ｙ）两点．若△ＡＦＢ内切２２的直线交椭圆于Ａ１１２２１，且│ｙｙ４，则椭圆的离心率为圆的面积为π│＝１－２

解：　

１

．２

易知，ＦＢ的周长为４ａ，内切圆半径为１，则△Ａ１１　　　　　　　　Ｓ·４ａ·１＝２ａ．ＦＢ△Ａ１

２１

又Ｓ·２ｃ·│ｙｙ４ｃ．│＝ＦＢ１－２△Ａ１

２所以，由２ａ＝４ｃ，得ｅｃ１

．ａ２

３２ｘ＋３ｘ－ｘ－３＞０，

４．若关于ｘ的不等式组２（ａ＞０）的整数解有且只有一个，则ａ的取值范围

ｘ－２ａｘ－１≤０{

是．

３４

解：　）．

４３

３２

由ｘ＋３ｘ－ｘ－３＞０，得－３＜ｘ＜－１或ｘ＞１．

所以，不等式组的唯一整数解只可能是－２或２．

２因为函数ｆ（ｘ）＝ｘ－２ａｘ－１图像的对称轴ｘ＝ａ＞０，所以不等式组的整数解只能是２．因此，有

　　　　ｆ（２）＝３－４ａ，　解得≤０

ｆ（３）＝８－６ａ＞０．

{

ｆ（－２）＝３＋４ａ＞０，

３４

．≤ａ４３

３４

故ａ）．

４３�仭��仭��仭��仭�

５．在△ＡＢＣ中，若ＡＢ·ＡＣ＝７，Ｂ－ＡＣ６，则△ＡＢＣ面积的最大值为│Ａ│＝解：　１２．

�仭�１�仭��仭�【方法１】设Ｍ为ＢＣ的中点，则ＡＭ（ＡＢ＋ＡＣ）．

２

�仭��仭�２�仭��仭�２�仭��仭�２

因为│ＡＢ＋ＡＣＢ－ＡＣ４ＡＢ·ＡＣ＝６＋４×７＝６４．│＝│Ａ│＋

�仭��仭��仭�

所以│ＡＢ＋ＡＣ８，从而│ＡＭ│＝４．│＝于是，Ｓ≤ＢＣ△Ａ

�仭��仭�１�仭�１�仭��仭�

Ｃ·Ｍ││ＡＣ－ＡＢ·Ｍ│＝１２．│Ｂ││Ａ││Ａ２２

．

当且仅当ＡＭ⊥ＢＣ，即ＡＢ＝ＡＣ＝５时，上式等号成立．　　故△ＡＢＣ面积的最大值为１２．�仭��仭��仭�

【方法２】因为│ＡＢ－ＡＣＣａ＝６，│＝│Ｂ│＝

�仭�２�仭�２�仭��仭�

所以│ＡＢＣ２ＡＢ·ＡＣ＝３６．│＋│Ａ│－

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�仭�２�仭�２２２

　　所以│ＡＢＣ５０，即ｂ＋ｃ＝５０．│＋│Ａ│＝

�仭��仭�又│ＡＢＣｏｓＡ＝７，即ｂｃｃｏｓＡ＝７．│·│Ａ│ｃ

１１故Ｓｃ－ｃｏｓｃ－（ｂｃｃｏｓＡ）ＢＣｂ△Ａ

２２

１ｂ＋ｃ２

）－４９＝１２．≤２２

当且仅当ｂ＝ｃ＝５时，上式等号成立．故△ＡＢＣ面积的最大值为１２．

６．如图２，在长方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤＡＢ＝４，ＢＣ＝ＣＣ２Ｍ是ＢＣＮ是ＭＣ１１１１中，１＝１的中点，１的中点．若异面直线ＡＮ与ＣＭ所成的角为θ、距离为ｄ，则ｄｓｉｎθ

解：　

４．５

．

【方法１】如图２，取ＣＣ，则ＫＮＭ，故∠ＡＮＫ为异面∥Ｃ１的中点Ｋ直线ＡＮ与ＣＭ所成的角，即∠ＡＮＫ＝．θ

因为ＡＢＣＣＢ，ＣＭＣ，所以ＣＭＮ（三垂线定理）．⊥平面Ｂ⊥Ｂ⊥Ａ１１１又ＫＮＭ，所以ＫＮＮ，即θ＝９０°．∥Ｃ⊥Ａ

因为ＣＭＮ，所以ＣＭ∥平面ＡＮＫ，故异面直线ＡＮ与ＣＭ的距∥ＫＭ与平面ＡＮＫ的距离，即等于点Ｍ到平面ＡＮＫ的距离．离等于直线Ｃ

注意到平面ＡＢＮＣＣ，所以点Ｍ到平面ＡＮＫ的距离等于点Ｍ到直线ＡＮ的距离．⊥平面Ｂ１在ＲｔＢＮ中，ＡＢ＝４，ＢＮ＝３，则点Ｂ到直线ＡＮ的距离为△Ａ１２１４ｄ．

５３５

４４

故ｄｓｉｎｓｉｎ９０°．θ

５５

【方法２】建立空间直角坐标系Ｄ－ｘｙｚ如图３所示，（２０，０）、Ｃ（０，４，０）、Ｍ４、Ｎ，４，则有Ａ２�仭�３３３�仭�）．于是ＡＮ＝（，４）、ＣＭ＝０．２２２�仭��仭�所以ＡＮ·ＣＭ＝０，则ＡＮＭ，即θ＝９０°．⊥Ｃ

�仭��仭�设与ＡＮ、ＣＭ都垂直的一个向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，１），则ｘ＝－１，３ｘ＋４ｙ＝，０２２　　　　解得ｙ．

４＋＝０．３所以ｎ＝（－１，，１）．

４

１２

．从而点Ｍ到直线ＡＮ的距离５

{{

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�仭�

　　又ＡＣ＝（－２４，０），�仭�·ＡＣ４│ｎ│所以ｄ．

│ｎ│５５４

４４

故ｄｓｉｎｓ°．ｉｎ９０θ

５５

２

７．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，且当ｘｆ（ｘ）＝ｘ．若对任意的ｘａ，ａ＋２］，不等式≥０时，∈［

ｆ（ｘ＋ａ）ｆ（ｘ）恒成立，则实数ａ的取值范围是≥２

解：　＋．∞）由题设知，ｆ（ｘ）＝

．

{

２

ｘ（ｘ），≥０２

则２ｆ（ｘ）＝ｆ）．－ｘ（ｘ＜０），

因此，原不等式等价于ｆ（ｘ＋ａ））．≥ｆ因为ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，所以ｘ＋ａ，即ａ－１）ｘ．≥≥又ｘａ，ａ＋２］，所以当ｘ＝ａ＋２时，－１）ｘ－１）（ａ＋２）．∈［因此，ａ－１）（ａ＋２），解得ａ≥≥故ａ＋ …… 此处隐藏：1355字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……