求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法

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求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an 1 2an 3 2n，a1 2，求数列{an}的通项公式。 解：an 1 2an 3 2n两边除以2n 1，得以

a12

1

an 12

n 1

an2

na 1anan33

则n，故数列 ， {}是n 1nn

22222

an2

n

22

1为首项，以

32

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

32

12

1 (n 1)

32

，

所以数列{an}的通项公式为an (n

)2。

n

n

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 2转化为

an 12

n 1

an2

n

32

，说明数列

{

an2

是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出n

an2

n

1 (n 1)

32

，进而求出数列

{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an 1 an 2n 1，a1 1，求数列{an}的通项公式。 解：由an 1 an 2n 1得an 1 an 2n 1则

an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1

[2(n 1) 1] [2(n 2) 1] (2 2 1) (2 1 1) 1 2[(n 1) (n 2) 2 1] (n 1) 1 2

(n 1)n2

2

(n 1) 1

(n 1)(n 1) 1 n

2

所以数列{an}的通项公式为an n。

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求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为an 1 an 2n 1，进而求出(an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。 例3 已知数列{an}满足an 1 an 2 3n 1，a1 3，求数列{an}的通项公式。 解：由an 1 an 2 3n 1得an 1 an 2 3n 1则

an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1

(2 3 2(3 2

n 1

1) (2 3

n 2

n 22

1) (2 3 1) (2 3 1) 3

1

21

n 1

3 3 3) (n 1) 3

3(1 3

nn

n 1

)

(n 1) 3

1 3

3 3 n 1 3 3 n 1

n

所以an 3 n 1.

nn

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2 3 1转化为an 1 an 2 3 1，

进而求出an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。

n

例4 已知数列{an}满足an 1 3an 2 3 1，a1 3，求数列{an}的通项公式。

nn 1

解：an 1 3an 2 3 1两边除以3，得

an 13

n 1

an3

n

23

13

n 1

，

则

an 13

n 1

an3

n

23

13

n 1

，故

an3

n

( (

an323

n

an 1an 11

) (2313

n

an 1an 1

1313

n

an 23

n 2

) (

an 231

n 2

an 33

) (n 3

23 13

a23

2

a13

) 1

a13

3

) (n

(

) (n 1

13

23

33

) (n 2

13

2

) 2

33

2(n 1)3

1

n 2

n 1

) 1

1

因此

an3

n

2(n 1)3

n

(1 31 3

n 1

) 1

2n3

12

12 3

n

，

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求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法

则an

23

n 3

n

12

3

n

12

.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 3an 2 3n 1转化为进而求出(

an3

n

an 13

n 1

an3

n

23

13

n 1

，

an 13

) (n 1

an 13

n 1

an 23

n 2

) (

an 23

n 2

an 33

) (n 3

a23

2

a13

) 1

a13

，即得数列

an

n 3

的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法

例5 已知数列{an}满足an 1 2(n 1)5n an，a1 3，求数列{an}的通项公式。 解：因为an 1 2(n 1)5n an，a1 3，所以an 0，则

an

an 1

a3a2

a1a2a1

][2(n 2 1)5

n 2

an 1an

2(n 1)5，故

n

an

an 1an 2

n 1

[2(n 1 1)5 2

n 1

] [2(2 1) 5][2(1 1) 5] 3

3

21

[n(n 1) 3 2] 5

n(n 1)

n 1

(n 1) (n 2) 2 1

3 2 5

2

n!

n(n 1)

所以数列{an}的通项公式为an 3 2

n 1

5

2

n!.

an 1an

n

评注：本题解题的关键是把递推关系an 1 2(n 1)5 an转化为

2(n 1)5，进而求

n

出

an

an 1an 2

an 1

a3a2

a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1

例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a1 1，an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1(n 2)，求{an}的通项公式。

解：因为an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1(n 2) 所以an 1 a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 nan 用②式－①式得an 1 an nan.

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①

②

求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法

则an 1 (n 1)an(n 2) 故

an 1an

n 1(n 2)

所以an

an

an 1an 2

an 1

a3a2

a2 [n(n 1) 4 3]a2

n!2

a2.

③

由an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1(n 2)，取n 2得a2 a1 2a2，则a2 a1，又知

a1 1，则a2 1，代入③得an 1 3 4 5 n

n!2

。

所以，{an}的通项公式为an

n!2

.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为进而求出

an

an 1

a3a2

an 1an

n 1(n 2)，

an 1an 2

从而可得当n 2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的 a2，

通项公式。 四、待定系数法

n

例7 已知数列{an}满足an 1 2an 3 5，a1 6，求数列 an 的通项公式。

n 1n

解：设an 1 x 5 2(an x 5)

④

nnn 1n

将an 1 2an 3 5代入④式，得2an 3 5 x 5 2an 2x 5，等式两边消去

2an，得3 5 x 5an 1 5

n 1

n

nn 1

代入④式得 2x 5，两边除以5，得3 5x 2x则,x 1,

⑤

n

nn

2(an 5)

由a1 5 6 5 1 0及⑤式得an 5 0，则

1

1

an 1 5an 5

n

n 1n

2，则数列{an 5}是以

n 1n

，故an 2 …… 此处隐藏：10779字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……