简谐振动的研究

简谐振动的研究

实验9 简谐振动的研究

简谐振动的研究

[实验目的] l、检验弹簧振子周期与质量的关系. 2、研究弹簧本身质量对振动的影响. [实验仪器] 焦利称、砝码、停表等. [实验原理] 简谐振动是物体周期运动中最简单，最基本，且最有代 表性的振动形式.弹簧振子具有简谐振动的特性.弹簧 振子在外力作用下将产生形变(伸长或缩短).在弹性 限度内，外力F和它的形变量X成正比.即 F= k x ( 9—1) 这就是胡克定律，比例系数k称为弹簧的倔强 系数.其值与弹簧的形状、材料有关.若改变 施加在某一弹簧上的外力，并测量出相应的形 变量，即可由式(9-1)算出该弹簧的倔强系 数k.

简谐振动的研究

将一根倔强系数为k的弹簧上端固定，下 端挂一质量为m的重物，组成一个振动系统. 如图9-l所示.

图9-l

简谐振动的研究

如果取物体m的平衡位置O为坐标原点， 则当它离开平衡位置为x时，将受到一个指 向平衡位置的弹性恢复力F=(x+l )的作用。 若忽略一切阻力的影响，可由牛顿定律得该 系统的运动方程0

d x M 2 = k ( x l 0 ) + mg dt

2

(9-2)

简谐振动的研究

(9-2)式中的 l 为弹簧在悬挂质量为m的重物后 的静伸长量，显然在振动系统平衡时有kl =mg, 则 d 2x M = kx (9-3) 2 dt 式(9-3)中 M=m+c m0,m0是弹簧自身质量.C是一待 定系数(0<c<1)其值可通过实验予以确定.cm。 称为弹簧的有效质量或称折合质量(通常在理论 分析中往往设定系统中的弹簧为“轻弹簧”或 “不记弹簧的质量”,而实际上弹簧自身的重量 在实验中一定会影响到测量结果，因此，通过对 C值的讨论我们可以了解弹簧自身质量对振动系 统的影响，从而使振动的研究更加完善)。00

简谐振动的研究

式(9-3)的解为：

x = A sin(ωt + ) (9—4)

即系统的位移按正比例变化，系统作简谐振动.简 谐振动的圆频率 k ω= (9—5) M 而振动周期 m + cm0 2 π M T= =2 π =2 π (9—6) ω k k 由以上二式可见，振动的圆频率及周期仅与振 cm 动系统本身参量k、 0;和m有关.而与振动的初 始状态无关. 式(9—4)中的A和 分别称为振幅和初位相，它 们均与振动的初始状态有关.

简谐振动的研究

本实验所用仪器焦利秤如图9—2所示

图9—2

简谐振动的研究

它是弹簧秤的一种.主要由一立柱A和可升降的套杆B 构成.立柱A上端有固定的游标V.套杆B上刻有毫米分 度。套杆B的顶端横梁上用一小螺丝夹固一弹簧C.在 弹簧C的下端穿过一刻有标线的玻璃管(指标管)D依 次吊挂一刻有指示线的平面小镜(指示镜)E和砝码托 盘F。G是一个升降旋钮，旋转它可升降套杆B。H为放 物平台，可由其下面的螺丝升降。K1K 2 是调整仪器铅垂 的螺丝. 焦利秤附有几个倔强系数不同的弹簧，其最大负荷在仪 器说明书中标出(如西安

教学仪器厂生产的焦利秤所附 的磷铜丝弹簧的最大负荷为30克或15克).实验时应根 据要求选择适当的弹簧，实验操作过程中务必保护弹簧 不受折损，并注意不可超过其量程.

简谐振动的研究

[实验内容] 一、测定弹簧的倔强系数 1.调节焦利秤三足底座上的水平螺丝K1 。K 2及弹簧上 端的夹头，使指示镜能镜面朝前自由地在指标管D中上 下振动.平衡时，转动旋钮G使指示镜上刻线与指示管 上标记线及其在指示镜中的像三条线完全对齐，即三条 线重合.以下简称“三线重合”.记下套杆B和游标V l0 上的读数值，确定平衡位值 ,作为坐标原点. 2.依次使砝码盘中砝码质量为1克、2克…,n克。每 次增加砝码后影转动旋钮G;使“三线重合”,记下立柱 B和游标V上的相应的读数值L (i=1.2…n) i 3.逐次将所增加的砝码取出(每次1克)每减少一次 砝码克数，都要转动旋钮G,重新调至“三线重合”记 下相应读数L 。 i

简谐振动的研究

二、检验弹簧振子振动周期T与m的关系. 1.测出指示镜和砝码盘的质量.逐次改变 砝码盘中的砝码质量为1克，2克…n克.使 弹簧振子振动，测出相应的周期，共测n组， 重复一次(测准周期十分重要，在用停表 测量周期时，要测量连续振动50个周期的 时间.握停表的手最好和负载同步振 动). 2.将所测数据填入自行设计的表中.

简谐振动的研究

三、研究弹簧自身质量对振动的影响 用天平测出弹簧自身质量m,其余步骤及要求与 实验内容二相同，不必重新测量.可利用上述的 测量数据. [数据处理] 1.用逐差法算出弹簧的倔强系数k 2 2.作 T m图验证其线性关系，由式(9-6 )转 化为 2 4 π 2 T = k (m + Cm0 ) . (9—7) 式中m为负载质量(包括指示镜和砝码托盘的质 2 量).Cm。是弹簧的有效质量.以T m 图， 2 如果图形为一直线， 并且斜率为4π/k, 则表明(9 -7)式成立.

简谐振动的研究

3.用分组计算法确定C值，计算弹簧的有效 质量 Cm0。 将式(9-7)改为 4 2 π 2 4 2 π = Cm + T m (9-8) k k0

令y=T ,x=m,a= ,b= y=a+b根据组合测量的分组计算法可从n组 bi ( xi , yi )值，求出n/2组含有误差 ai和 值， 再分别按直接测量计算，的平均值及其标 a C = 及其误差传递公式 准偏差即可由 bm 0 确定C的结果。

2

4 2 π Cm0 k

4 2 π ,则得 k

简谐振动的研究

将测量数据如前分成前半和后半两部分，在两部分 中各取一组求a和b.2 Ti 2 Ti + 4 ai = m i mi + 4

1 1 m i mi + 4

Ti T bi = m i mi + 42 2 i+4

(mi + 4 mi )

简谐振动的研究

将所得(n/2=4)组) 数据列表 1 a b 2 3 4 平均

简谐振动的研究

1234平均ab由表求得

a = a ± δa , b = b ± δb即可确定C值并计算出弹 簧振子的有效质量 cm0

简谐振动的研究

[思考题 思考题] 思考题 1.为了测准弹簧的伸长量，你采取了哪些方法

? 2.测量T时为什么不能测一个周朝而要测多个周 期？取多少个周期决定于什么？ 3.在简谐振动过程中，弹簧的有效质量是否等于 用天平称出的质量值 m0?实验测出的结果是否约 为m0 /3? T 2 m 图为一直线但不通过原点，你是否 4.如果 认为与弹簧的有效质量有关？为什么？