高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案：3.2 导数的计算

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教学目标：

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2. 利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

1．重点：推导几个常用函数的导数；

2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：

一 复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二 新课

例1．推导下列函数的导数

f(x) c yf(x x) f(x)c c 0， 解： x x x

yf'(x) lim lim0 0 x 0 x x 0（1）

1. 求f(x) x的导数。 yf(x x) f(x)x x x 1， x x x

y' lim1 1。 f(x) lim x 0 x x 0解：

y' 1表示函数y x图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的函数，则y 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y x，y 2x，y 3x，y 4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数y kx(k 0)增的快慢与什么有关？ '

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可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.

2. 求函数y f(x) x2的导数。

yf(x x) f(x)(x x)2 x2

2x x， 解： x x x

y' f'(x) lim y lim(2x x) 2x。 x 0 x x 0

y' 2x表示函数y x2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

(1) 当x<0时，随着 x的增加，y x2减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着 x的增加，y x2增加得越来越快。

3. 求函数y f(x) 1的导数。 x

11 yf(x x) f(x)x (x x)1 2解： ， x x xx(x x) xx x x

y' f'(x) lim y11 lim( 2) 2 x 0 x x 0x x xx

思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

' k f(1) 1，所以其切线方程为y x 2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三 例题

1.

试求函数y f(x)

解： 的导数。

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yf(x x) f(x) x x

y' f'(x) lim y lim x 0 x x 2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线y x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。

解：y' 2x，设切点为M(x0,y0)，则y'

因为PQ的斜率k x x0 2x0. 4 1 1,又切线平行于PQ， 2 1

111所以k 2x0 1，即x0 ，切点M(,)， 224

所求直线方程为4x 4y 1 0。

四 练习

1.如果函数f(x) 5，则f(1) （ ）

A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在

2 ' 2.曲线y 2x 1在点（0，1）的切线斜率是（ ）

A.-4 B.0 C.2 D. 不存在

121x在点(1,)处切线的倾斜角为（ ） 22

5 A. B. 1 C. D. 444 3.曲线y 答案：

1.C 2.B 3.C

五 小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。

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