《新BBG》考前三个月2016高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考

第19练 平面向量中的线性问题

[题型分析·高考展望] 平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.

常考题型精析

题型一 平面向量的线性运算及应用

→→例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则下列结论正确的是________. 1→4→→

①AD＝－AB＋AC；

33→4→1→

③AD＝＋AC；

33

→1→4→

②AD－；

33→4→1→

④AD－.

33

(2)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设→→→

AB＝a，AC＝b，试用a，b表示向量AO.

点评 平面向量的线性运算应注意三点： (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

→→→

(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.

变式训练1 (1)(2015·杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一→→→

起，若AD＝λAB＋kAC，则λ＋k＝________.

→→

(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋→

μAN，则λ＋μ＝______. 题型二 平面向量的坐标运算

例2 (1)(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________. (2)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a＝mb＋nc的实数m，n； ②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.

点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

→变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(03)，C(3,0)，动点D满足|CD→→→

|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________.

→→→

(2)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.

高考题型精练

1.(2015·四川改编)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝________.

→→2.(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是________. ①|b|＝1; ③a·b＝1;

②a⊥b； →

④(4a＋b)⊥BC.

π

3.(2015·常州调研)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝4→→→

设OC＝ λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为________.

→→→→→→→

4.(2015·南通质检)在△ABC中，AR＝2RB，CP＝2PR，若AP＝mAB＋nAC，则m＋n＝________. 5.(2015·南京模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两xy→→→→

边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则________.

x＋y

6.(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

→→→7.已知A(－3,0)，B(03)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为______.

π8.(2014·陕西)设0<θ<a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.

29.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于14→→→→

不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN (m，n>0)＋的最小值为______.

mnλ

10.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝

μ________.

→→→→→→→

11.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.

→→→12.(2015·常州模拟)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.

(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线； →→

(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值.

答案精析

第19练 平面向量中的线性问题 常考题型典例剖析 例1 (1)①

解析 ∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→

)， 即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→

＝－1→4→3AB＋3AC.

(2)解 由D，O，C三点共线，可设 DO→＝k→→→

1DC＝k1(AC－AD)＝k1 b－12 ＝－1

2k1a＋k1b(k1为实数)，

BO→＝k→→→

12BF＝k2(AF－AB)＝k2(2b－a)

＝－ka＋1

22

k2b(k2为实数)，①

又BO→＝BD→＋DO→

＝－112a＋(21a＋k1b)

＝－1

2

(1＋k1)a＋k1b，②

由①②，得－k11

2a＋2k2b2＋k1)a＋k1b，

即1

12＋k1－2k2)a＋ 2k2－k1 b＝0. 又a，b不共线，所以

1

2 1＋k1

－2k2

＝0，

1

2k2

－k1

＝0

k＝1

13，

k2

2

＝3.

所以BO→

＝－213＋3

.

所以AO→＝AB→＋BO→

＝a＋ －23a＋13 ＝13(a＋b). 变式训练1 (1)1＋2 (2)4

5解析 (1)根据向量的基本定理可得 AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋(ED→－EC→)

＝AC→＋2AC→

2→2BC)

＝AC→＋AC→

－2→→2(AC－AB)

＝ 1＋

22

2·AC→

＋→2.

所以λ22，k＝1＋22

. 所以λ＋k＝1＋2. (2)依题意得

AM→＝AB→＋BC→＋CM→＝AB→＋BC→－1→

4AB

＝34

→＋BC→， AN→＝AB→＋BN→＝AB→1→2；

又AB→＝λAM→＋μAN→，

于是有AB→

＝λ3→→4＋BC ＋μ →1→ AB＋2BC ＝ 3 4＋μ ·AB→＋ μ λ＋2BC→

； 3

又AB→与BC→

不共线，因此有

4

λ＋μ＝1， λ＋μ

2＝0，

由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝4

5例2 (1)－3

解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即 2m＋n＝9， m－2n＝－8，故m－n＝2－5＝－3.

(2)解 ①由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

m＝5∴

－m＋4n＝3，

9

，

得

2m＋n＝2，

n＝89.

②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)，

解得

m＝2，

n …… 此处隐藏：4097字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……