南昌大学科学技术学院《线性代数》课后习题详解

《线性代数》课后习题解答

习题一

1．（1）

34

3 7 4 5 1； 57

ab

c

（2）bca acb bac cba aaa bbb ccc 3abc a3 b3 c3；

cab

1

1bb2

1

c 1 b c2 1 c a2 1 a b2 1 c b2 1 a c2 1 b a2 c2

（3）a

a2

bc2 a2c ab2 b2c ac2 a2b (b a)(c a)(c b)； （注：这是一个三阶范德蒙行列式，可直接用公式计算）

x

yx yx

x yxy

x (x y) y y x (x y) (x y) y x

（4）

yx y

x3 y3 (x y)3 2(x3 y3)． 2．（1）M12

42

2，A12 ( 1)1 2M12 2；

1 M31

10 2，A31 ( 1)3 1M31 2； 122 1

6，A33 ( 1)3 3M33 6． 41

1

1

5

M33

（2）M12 2 31 19，A12 ( 1)1 2M12 19；

01 2

10

7

M31 0

015 7，A31 ( 1)3 1M31 7； 1 2

3 17

5 2，A33 ( 1)3 3M33 2． 2

M33 1

00

3．（1）N(4132) 0 1 1 2 4； （2）N(2413) 0 0 2 1 3；

（3）N(36715284) 0 0 0 3 2 4 0 4 13． 4．a11a23a32a44和a11a23a34a42．

) 0 1 2 1 4 0 8，故该项应取正号； 5．（1）因N(532416) 0 0 1 1 2 1 5，故该项应取负号； （2）因N(162435

) N(136254) 6 5 11，故该项应取负号。 （3）因N(251463

6．（1）原式 ( 1)N(3241)1 1；

（2）原式 ( 1)N(1243)1 ( 1)N(1423)1 0；

（3）原式 ( 1)N(23 n1)1 2 (n 1) n ( 1)n 1n!．

1 1201 1201 120

4 13503 5501 64

7．（1）原式 2 2 2

31 2 304 8 304 8 3205102110211

1 1201 1201 12001 6401 6401 64 2 2 2 3

0016 19003 12001 40013 70013 70013 7

1 12001 64

6； 270

001 400045（2）原式

23413412

41 10232

3413412

412341011 3

202 2 230 1 1 1

10

10

0023411 3

． 160

0 4400 4a0abba0a

ab (2a b)a0a

0abba0aab a0

2a b2a b

8．（1）原式

2a b2a b

1aba

aa bb a

0 aa bb a

(2a b) (2a b) 1 ( 1)1 10 b0

00 b0

b aa b a

0b aa b a (2a b) ( b) ( 1)2 2（2）

x

Dn x ( 1)1 1

y 00

y

0 0y 0 0 y0 x

x 00x y ( 1)n 1

y

x

00

ab a

b(2a b)[a2 (b a)2] b2(b2 4a2)；

b a a

xn ( 1)n 1yn； 0y

00 x00 0

（3）（方法一：降阶法）

a1

Dn 1

a2

1 ( 1)(n 1) 1

00 a1

1 ( 1)(n 1) (n 1)

0 000

00

a1

00

00 0an

a2 00

00 1 ( 1)(n 1) 2 0an00 0

00 an 1 an

( 1)n 2a1a2 an ( 1)n 3( a1)a2 an

00

a2 00

an 1 ana1

a2 00

an 1 an

an 1

( 1)n (n 2)( a1)( a2) ( an) ( 1)n(n 1)a1a2 an；

（方法二：三角化）

a10

Dn 1

0 01

0 010 a20 02 a1

0 a20 020a2 01

00 03

000 an

1

000 an1000 an

n1

a100 01000 0n 0

000

0000

( a1)( a2) ( an)(n 1) ( 1)n(n 1)a1a2 an

0 a20 02

00 03

000 an

1

000 an1

a3 a3

a3

0

0 00

1 00

*（4）Dn ( )Dn 1 ( 1)1 2

00

1

( )Dn 1 Dn 2

变形为 Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 2) 由于 D1 ，D2

1

2 2，则

Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 2) 2(Dn 2 Dn 3) n 2(D2 D1) n 故Dn Dn 1 n ( Dn 2 n 1) n 2Dn 2 n 1 n

n 1D1 n 2 2 n 1 n n n 1 n 1 n 所以，①当 时，Dn (n 1) n

n 1 n 1

②当 时，Dn ；

aa2

*（5）D4

a3

a b c d

bb2b3

a b c dcc2c3

a b c d

dd2

d4

a b c d

aa2

(a b c d)3

a1aa2

(a b c d)

1a3

bb2b31bb21b3

cc2c31cc21c3

dad2a2

(a b c d)d411a3dad2a2

(a b c d)11d3a3

b

b21b3bb21b3

cc21c3cc21c3

dd2

1d3dd2

1d3

1a

(a b c d)2

aa3

2

1bb2b31

1cc2c31d

(a b c d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)2dd3

21

30

2

000

01

0000

21

30

2

000

014300

0012

000

102 100

2

9．（1）原式 01210 0

001210000120

2130

2 000

000

014300

4

000

22 10 0

312100120

3

1412

0015

40

1

00012

45

2

3456

2 6；

2345

10

（2）原式 13

317

1041 1

1

2832 5 13 4 1 ( 1) 31 1 5

1 1 50

17 3 61

3 61302

08

03

1

224519

2251922519

721013 1 ( 1)3 2 71013 71013

0100

8 9 1411 8 3 9 14

71

170

6 1 ( 1)0

3 1

1717

6

17410

47

799；

n 1n 1

（3）Dn

n 1

n

1 12 1 (n 1)

1 2a1xa2 a21

n

1 11

2 10

(n 1)

1 201 1

1 0

n 1；

0 1

x aix ai

i 1ni 1ni 1n

a2 ana2 anx a3 a1

（4）Dn 1

x ai

x ai

i 1

an

(x ai)a2

i 1

a2x

an00

00

n

a1x

a2 ana2 anx an a3 x

a20x a2

0x a2

0x a1

(x ai)0a2 a1

i 1

x a1

0a2 a1

a a1

(x ai)2

i 1

n

a3 a2 x an

n

n

(x ai) (x ai)．

i 1

i 1

a2 a1a3 a2 x an

3 1

a2ab a2b a0

2

b2 a2

2b 2a ( 1)0

10．（1）左 2a

1

ab a2b a

b2 a22b 2a

ab a

(b a) (a b)3 右；

12

a

b cb1 c1b2 c2b cb1 c1b2 c2

c a

b

b cb1 c1b2 c2c a

c ac1 a1 c2 a2a

bb1b2

c

b

cc1c2

aa1 a2

（2）左 a1

a2