第3章 时域瞬态响应分析

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第三章 时域瞬态响应分析3.1 典型输入信号 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应 3.4 时域分析性能指标 3.5 高阶系统的瞬态响应

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时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入 时域分析 信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 控制系统的输出响应是由瞬态响应 稳态响应 瞬态响应和稳态响应 瞬态响应 两部分组成。 瞬态响应： 瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系 统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态 响应也称动态响应或过渡过程或暂态响应。 稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当 稳态响应 时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称 为静态响应。

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3.1 典型输入信号 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点 1) 数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确 定系统的性能指标， 便于系统分析和设计； 2) 在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为 分析系统在复杂信号作用下的依据； 3) 便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传 递函数。 常用的典型输入信号有阶跃信号 、 斜坡信 阶跃信号、 阶跃信号 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。 号、加速度信号、脉冲信号及正弦信号。

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1）阶跃函数 0 r (t ) = at<0 t≥0r(t)aa R(s) = t 0 s 这意味着t=0 时突然加到系统上的一个幅值不 变的外作用。幅值a =1的阶跃函数，称为单位阶跃函数 单位阶跃函数，用 单位阶跃函数 1(t)来表示。 一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为 评价系统动态性能指标的依据。

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2）斜坡函数 0 r (t ) = at a R(s) = 2 s t<0 t≥0r(t)a01t表示在t =0时刻开始，以恒定速度 a 随时间变 化的函数，也称为速度函数 速度函数。 速度函数 单位斜坡函数。 当a =1的斜坡函数，称为单位斜坡函数 单位斜坡函数

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3）加速度函数 0 r (t ) = 2 at 2a R(s) = 3 s t<0 t≥00r(t)t表示在t =0时刻开始，以恒定加速度随时间变 化的函数，也称为抛物线函数 抛物线函数。 抛物线函数 单位加速度函数。 当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数 单位加速度函数

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4）脉冲函数0 ε t 当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数 单位脉冲函数,记 单位脉冲函数 为δ(t)。t<0或t>0 0 r (t ) = a 0<t <ε lim ε ε →0 R( s) = ar(t)aε当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称 为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于1 ，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。

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5）正弦函数 0 r (t ) = a sin ω t aω R(s) = 2 s +ω2 t<0 t≥0r (t )aπ ω02πωt正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种 典型外作用，系统在正弦函数作用下的响应，即频 率响应。 各函数之间的关系 积分 积分 积分 → → → 1 2 δ (t ) 1( t ) t 1( t ) t 1( t ) ← ← ← 2 求导 求导 求导

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究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，需 要参照系统正常工作时的实际情况。 系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统。 系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号。 系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号。 系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。 系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。

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3.2 一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系 统，它的典型形式为一阶惯性环节。X 0 ( s) 1 = G( s) = X i ( s ) Ts + 1闭环极点(特征根)：-1/T

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3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入为xi (t )1 Ts + 1xo (t )xi (t ) = 1(t )1 X i (s) = s1 1 × 输出为 X 0 ( s ) = G ( s ) X i ( s) = Ts + 1 s 1 T 1 1 = = s Ts + 1 s s + 1 T单位阶跃响应为 x0 (t ) = 1 e1 t T(t ≥ 0)

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x0(t) 1 1/Txo(t)=1-e-t/T86.5%063.2%95.0%98.2%T2T3T4Tt

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特点 1) 一阶惯性系统总是稳定的，无振动； 2) 经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过， 用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即 是惯性环节的时间常数； 3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％，可以认为其调整过程已经完成，故一般取 调整时间(3～4)T ； 4) 在t＝0处，响应曲线的切线斜率为1/T。

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ln[1-xo(t)] 与时间 成线性关系 与时间txo (t ) = 1 e e1 t T1 t T= 1 xo (t )1 t = ln[1 x o (t )] T判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数

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3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡输入为xi (t )1 Ts + 1xo (t )xi (t ) = t 1(t )输出为1 X i (s) = 2 s1 1 Ts + 1 s 2X 0 ( s) = G ( s) X i ( s) =1 T T = 2 + s s s+ 1 T单位阶跃响应为 x0 (t ) = t T + Te1 t T(t ≥ 0)

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误差： e(t ) = xi (t ) xo (t ) = t [t T + Tet → ∞，e(∞) = T1 t T] = T (1 e1 t T)输入为斜坡函数时, 一阶系统存在稳态误差T 。