高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析

云师堂,高考数学

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朱建波

江苏沛县中学２２１６００

舅一≮黛芸篡嚣椭籼籼黼…躺，点氕戳了触≯蹲腻糊

瞄关键词：椭圆；双曲线；离心率；思路剖析

离心率ｅ是刻画圆锥曲线性质的重评注：圆锥曲线的教学是围绕着定要参数．求圆锥曲线离心率的值或范义展开的．定义准确地揭示了圆锥曲线２１ＦＤＩ，得泸弘望，所她宰．

围的问题在全国各省市高考试题中屡这一概念内涵．因此定义法应当是解决评注：定义是数学概念之本．是解见不鲜．在各地的调研试题中也每每离心率问题的基本策略．本题中．根据决数学问题的重要依据，回归定义，应出现．解决此类问题。需要认真审核．点Ｐ的特殊位置．利用定义分别列出等用定义法解题是不容忽视的重要方法

从题目信息，从所给的数式与图形中，量关系．迅捷地达到了求解的目的．当之一．

构造关于三个量口。ｂ。ｃ的等量关系或然．我们除了应重视圆锥曲线的具体定

不等关系．从而找到解题方向．但是学义外。还应关注圆锥曲线的统一定义，

生在处理这类问题的部分试题时．经即根据已知条件选取对应的焦点与准（固。坐标法——通过求定点坐

常束手无策．笔者认为：此类问题并非线．构造圆锥曲线的统一定义，从而解

标解ｅ值

无迹可寻．而是有法可依．现选取部分决问题．以下例２就是利用圆锥曲线的倒３（２００９年江苏卷第１３题）在平高考试题。给出几种思路或方法。并加统一定义解题的范例．

面直角坐标系菇０，，中，Ａ。，Ａ２，Ｂ。，Ｂ２为椭

以解析与点评．以期能为同行与学生倒２（２０１０年全国卷Ｉ理科第１６

圆薯＋岳＝１（Ｄ６＞ｏ）的四个顶点，肋其

提供参考．

题）已知难椭圆Ｃ的一个焦点，曰是短

右焦点，直线Ａ。Ｂ２与直线Ｂ。瑚交于点ｒ，

轴的一个端点．线段引Ｐ的延长线交椭圆

ｃ于点Ｄ，且藤２而，则椭圆ｃ的离心率

线段ＯＴ与椭圆的交点肘恰为线段０ｒ的

Ｑ剪定义法——利用定义求解ｅ

倒１（２０１１年福建卷理科第７题）ｖＪ

设圆锥曲线Ｃ的两个焦点分别为Ｒ，Ｂ，

为一

一

中点，则该椭圆的离心率为一

：

Ｂ２

若Ｃ＿Ｅ存在点Ｐ满足Ｉ矾ｌ：ＩＦＩＲＩ：Ｉ踢ｌ－

取ｒ。

４：３：２．求圆锥曲线Ｃ的离心率．

厂‘汾。

Ａ八０＼

拦／ｚ；

解析：由题意＊－ｆｉ雯Ｉ隅Ｉ－－４ｋ，ＩＥ尼ｌ＝

弋彰７

ｉ夕Ｂｌ

３七，ｌＰＦ２ｌ＝２ｋ，矗娥若ｃ为椭圆，由椭圆

的定义可得ｌ隅ｌ＋ｆＰＦ２Ｉ＝２ａ＝６ｋ，．黜ｌａ＝３ｋ．

图２

而ＩＥ足Ｉ－３ｋ＝２ｃ，得ｃ＝委七，所以ｅ＝三＝

解析：如图１，ＩＢＦｌ＝、佰茸孑＝口，作

解析：如图２，易得Ａ，（一口，０），Ｂ１（０，ＤＤ 坍彻一岫藤疡滑器＝

一ｂ），Ｂ２（０，ｂ），Ｆ（ｃ，０），直线ＡｌＢ２的方程为ｂｘ—ａｙ＋ａｂ＝Ｏ，直线日ｌＦ的方程为６戈－ｃ），一

了１．若ｃ为双曲线，由双曲线的定义可得

Ｉ矾ｌ—ｌＰＦ２ｌｌ＝２Ｉ仁２＿ｊ｝，勋ｌａ＝ｋ．而Ｉ—Ｒ｜－

器＝詈，Ｍｂｃ＝Ｏ．

ＩＤＯ－Ｉ＝乏３１０ｍＩ＿ｃ＇３

联立直线ＡＩＢ２和直线Ｂ，Ｆ的方程可

３扣２ｃ，得ｃ＝詈七，所以ｅ－詈３詈 综上，

即菇庐詈．又由圆锥曲线的统一定义可

求得点ｒ的坐标为ｆ丝，望堕堕１，点肘

圆锥曲线Ｃ的离心率为土或三．

得Ｉ刃Ｉ＝ｅ｝兰２１１一翌２ａ，ｘ．由ＩＢＦＩ＝

的坐标为（三，罴），橼肘的坐

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标（告，等卜曲线方程告唔＝ｅ＝一．

、／６

基本不等关系的使用．也要注意特殊情

２

况下等号是否能取得．例４中点腻取不

１（。＞６＞ｏ）有尘≠＋掣：１，即

口２ｃ２

６２（叶ｃ）２

评注：这道题也是由直线的方程、中

到右顶点．这也成为学生失误的主要方点坐标公式、双由线的性质等基础知识，。面。当然。通过构造三角形。应用余弦定

直接求出定点Ｍ的坐标．再结合题目条理．利用三角函数的有界性等其他一些ｅ２＋ｌＯｅ一３－－０，可求得ｅ＝２、／可一５．．

件列出口与ｃ的奇次式．从而求出离心率ｊ

方法也可以解决．

评注：标准方程是圆锥曲线的量化体现，．＆Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ）在圆锥曲线上除了满足圆锥曲线的定义外．其坐标也满足曲线

（翁有界法——利用有界性求

＠ｊ。方程法——利用方程思想

的方程．例３借助直线的方程、中点坐标ｅ的范围

求ｅ

公式、圆锥曲线的性质等基础知识．通过圆锥曲线具有有界性．点Ｐ（ｘ。，ｙｏ）

例６（２０１０年辽宁卷理科第２０题）

计算，直接用口，ｂ，ｃ刻画定点肘的坐标后，为椭圆要＋丢＝１（础＞ｏ）上任意一点，Ｆ将其代入曲线方程．从而解出ｅ值．

因

ａＹ

６‘

设椭圆ｃ：吾＋吾＝１（口＞６＞ｏ）的右焦点为

此，通过求定点坐标，找出口与ｃ的关系。

为其中一个焦点．则椭圆中主要包含两Ｆ，过点Ｆ的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两

也是解决离心率问题的有效途径之一．

类有界性问题：一类为一口≤粕≤８，－ｂ≤

点，直线ｚ的倾斜角为６０。，刑毫２赢，求椭

例４

（２０１２年浙江卷理科第８题）

ｙｏ＜一ｂ；另一类为州≤ＩＰＦｌ

ａ＋ｃ．类似

圆Ｃ的离心率．

已知，Ｉ，，２分别是双曲线ｃ：吾一吾＝１

地，在双曲线等一等＝１中，有粕≤一口或ｙ。

旷

Ｄ。

（口，ｂ＞０）的左、右焦点，Ｂ是虚轴的端点。

ＸＯ≥口及ＪＰＦｌ

ａ－－－ｃ等不等关系．这些关

。／，。

叫．

直线ＦＩＢ与Ｃ的两条渐近线分别交于Ｐ．

系．可以作为解决圆锥曲线离心率的重

要方法．

弋Ｑ两点，线段用的垂直平分线与石轴交

勿ｊ

于点麒若ＩＭＦ２Ｊ－ｌＥＦ２Ｉ，则ｃ的离心率

倒５

（２０１０年四川卷理科第９题）

圈５

是

．

已知椭圆要＋￡＝１（Ｄ６＞ｏ）的右焦点为１解析：如图５，设Ａ，Ｂ的坐标分剐为

Ｉ旷

２

Ｄ—

，，。

Ｆ。其右准线与省轴交于Ａ点。在椭圆上存（茗。，Ｙ１），（石：，ｙ２），结合刑已２商，直线ｚ的倾

在点尸满足线段ＡＪＰ的垂直平分线过点Ｆ．

斜角为６０。，可知”＜ｏ，坷＞０，直线Ｚ的方程

７渡

弋＼；

必

则椭圆的离心率的范围为一

ｆ产、／丁（算＿ｃ），

，，。

Ｌ

为），２订（纠），联立ｋ￡：１

Ｐ渊Ｖ．

，．

Ｉ∥ｂ２

圈３

／，

可得（３ａ％ｂ２）＾２、／了ｂＹｙ一３ｂ４＝０，

解析：如图３，易得ｆＯＢｌ＝ｂ，ＩＯＦ，Ｉ＝ｃ．…… 此处隐藏：3029字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……