《电磁场与电磁波》(第四版 )答案四章习题解答

此文档为本人结合教学实际,为学生精心整理的学习内容,全部有标准答案。已经全部编辑、调整好打印的格式,各位老师、家长、同学下载后可以直接打印使用。

四章习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为

① (0,

)(,)0y a y ??== ② (,0)0x ?=

③ 0(,)x b U ?=

根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为

1

(,)sinh(

)sin()n n n y n x

x y A a a

ππ?∞

==∑ 由条件③，有

01

sinh(

)sin()n n n b n x U A a a

ππ∞

==∑ 两边同乘以sin(

)n x

a

π，并从0到a 对x 积分，得到 002sin()d sinh()a

n U n x

A x a n b a a

ππ==? 0

2(1cos )sinh()

U n n n b a πππ-=

04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ?

=?

??=

?

， 故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)s i n h ()s i n ()s i n h

()n U n y n x x y n n b a a a ππ?ππ==∑ 4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ?=。

解 应用叠加原理，设板间的电位为

(,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+

其中，1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为

0U ）的电位，即10(,)x y U y ?=；2(,)x y ?是两个电位为零

的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

① 22(,0)(,)0x x b ??==

②

2(,)0()

x y x ?=→∞ ③ 002100(0)

(0,)(0,)(0,)()

U U y y d b

y y y U U y y d y b d

b ????

-≤≤??=-=?

?-≤≤??

a

题4.1图

题 4.2图

此文档为本人结合教学实际,为学生精心整理的学习内容,全部有标准答案。已经全部编辑、调整好打印的格式,各位老师、家长、同学下载后可以直接打印使用。

根据条件①和②，可设2(,)x y ?的通解为 21

(,)sin()e n x b

n n n y x y A b ππ?∞

-==∑ 由条件③有 00100(0)sin()()

n n U U y y d n y b

A U U b y y d y b d

b π∞

=?-≤≤??=??-≤≤??∑ 两边同乘以sin()n y

b π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b

n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin()()U b n d n d b

ππ 故得到 (,)x y ?=00

2

21

21sin()sin()e n x b

n U bU n d n y y b d n b b π

πππ∞

-=+∑ 4.3 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按20

2U W

C e f =定出边缘电容。

解 在导体板（0=y ）上，相应于2(,)x y ?的电荷面密度

002

200

121sin()e n x b

y n U n d y

d n

b πε?

πσεπ∞-==?=-=-?∑

则导体板上（沿z 方向单位长）相应的总电荷

2220

d 2d q x x σσ∞

∞

-∞===??001022sin()e d n x b n U n d x n d b πεππ∞∞

-=-=∑?0022

141sin()n U b n d

d n b εππ∞=-∑ 相应的电场储能为 20020221

21

1sin()2e n bU n d

W q U d n b εππ∞

===-

∑ 其边缘电容为 022210241sin()e f n W b n d

C U d n b

εππ∞===∑

4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为

① (0,

)(,)0y a y ??== ② (,)

0()x y y ?→→∞ ③ 0(,0)x U ?=

根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为

1

(,)sin()n n n y a n x

x y A e a ππ?∞

-==∑

由条件③，有 01

sin()n n n x

U A a π∞

==∑ 两边同乘以sin()n x

a

π，并从0到a 对x 积分，得到 题4.4图 0

a