板壳理论讲义第13章2

ansys 有限元板壳理论方面比较全面,精简的介绍。有限元的理论基础

§13－8圆形薄板的弯曲

1．坐标变换（本节自修，与学生互动）：

w w r w wsin w cos x r x x rr

w w r w wcos w sin y r y y rr

y 222x=rcos , y=rsin , r x y,tg x

rxsin cos cos , r y sin , y , 2 xr yr xrr yr

2w wsin w (cos )2 x x rr

w 2w r 2w

sin cos (2 r r x r x

sin wsin 2w 2w r

( ) (2 xr r x r x

2w2sin cos 2wsin w2sin cos wsin2 2w2

cos 2 2

rr rr rr r 2

2w 2w2sin cos 2wcos2 w2sin cos wcos2 2w2

sin 2 22 y rr r r rr r 2 2w 2wcos2 sin2 2w2sin cos w

sin cos 2 x y rr r r rcos2 sin2 w2sin cos 2w

r r 2

21 1 2

w＝(2 2w2

rr rr

2

2．弹性曲面微分方程的极坐标形式：

x,y r, ：w x,y w r, ，q x,y q r,

21 1 2 2w1 w1 2w

D(2 22 2 q22

rr rr rr rr

Mr Mx 0

2w 2w 1 w1 2w 2w

D 2 N2 D 2 2

2 x y rr rr 0

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M My 0

1 w1 2w 2w 2w 2w

D 2 N2 D 2 2 2 x 0 r y r rr

2w

D 1

x y 0

Mr M r Mxy 0

1 2w1 w

D 1 2

r r r

Qr Qx 0 D 2w D 2w

r x 0

1 2

Q Qy 0 D 2w D w同样， r、 、 z和 r r用内

r y 0力表示。

3．边界条件：

r a夹支边：r a简支边：

ww

r a 0

w

0 rr a

r a

0

Mr

r a

0

对于简支圆板，有沉陷且受分布力矩M，则

w

r a自由边：

r a

0 0

Mr

Vr

r a

Mr

r ar a

1 Mr

Qr 0 r r a

§13－9圆形薄板的轴对称弯曲

1．概述：

轴对称：

边界条件绕z轴对称载荷绕z轴对称几何上对称

q r

w w r ：说明弹性曲面是绕z轴对称的

2．轴对称弹性曲面微分方程：

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D w q r

2

2

21 2

rr r

2

设w w* r 求通解：

特征方程： 2 2 0

2

0(重根)或 2(重根)

C1lnr C2r2lnr C3r2 C4

特解w*的取法：

当圆板所受载荷沿径向连续分布时，可将该载荷近似地用多项式表

示：

q A0 A1r A2r2

则取特解w*为：

w* r4 B0 B1r B2r2 比较：

q q0rs

w* ars 4

B0, ,Bn, ，可通过幂次项系数比较得到。

3．边界条件：

1)如圆板具有内外两个边界（中心处有圆孔），可由四个边界条件决定四个

常数C1至C4；

2)如圆板只有外边界，则需补充两个条件：

a)中心无支承：

w r 0 Qr r 0

C1 0C2 0

Mr r 0 M r 0

b)中心有连杆：

(沉陷)

w r 0 0无沉陷

c)中心无支承，但又集中载荷，则Qr已知。

Qr D

2P

w r2 r

C1 0

w r 0

3)特殊情形：载荷不连续，分段求解

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q1 0 r

q r D 4w 2

q3 r q4 r

dw

O点：两中心条件A点：w、Mr、Qr连续

drdw

D点：两边界条件B点：w、Mr相等，Qr相差P

dr

dw

C点：w、Qr相等，Mr相差M

dr

r 0：

w r 0 Mr r 0 M r 0 Mr r 0

w1 w2

dw dw dr 1 dr 2 dw dw dr 1 dr 2 dw dw dr 1 dr 2

r rA：

Mr 1 Mr 2 Mr 1 Mr 2 Qr 1 Qr 2

Qr 1 Qr 2 Qr 2 Qr 1 P Mr 2 Mr 1

M

r rB：w1 w2

r rC：w1 w2

问题补充：

对于方板受不连续载荷的提法

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§13－10轴对称弯曲问题的实例

1．无孔圆板受均布载荷：

对均布荷载q0，取特解为w1 B0r4

2

2

B0 q064D

q0r4

w C1lnr C2rlnr C3r C4

64D

对于无孔情形：C1 C2 0，则

q0r4

w C3r C4

64D

2q0r3dw

2C3r dr16D

3 q0r2

161 3

M 2 1 DC2 q0r2

16

Mr 2 1 DC2

Mr M r 0，Q 0剪力Qr可由平衡条件得到。

1)

r a处夹支，则边界条件为

w

r a 0

dw

0drr a

q0a2C 332D 4

qa C 04 64D

3q0a4

aC3 C4 0 64D于是 2

qa C 0 03

32D

q0a4 r2 w 1 2

64D a

2

q0a2 r2 Mr 1 3 2 16 a q0a2 r2 M 1 1 3 2 16 a 2 rQr q0 r2 讨论：

Qr

q0r

2

q0a41

在板中心处：r 0，w ， Mr r 0 M r 0 q0a2

64D16

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在板边界处：r a， Mr r a

2)

q0a2qa ，Qr 0

82

r a处简支，则边界条件为

w

r a

0

Mr

r a

0

q0a42

aC3 C4 0 64D 2

21 DC 3 q0a 0

3 16

3 q0a2 C3

321 D

444

C 3 q0a q0a 1 q0a 5 432D1 64D1 64D1

3 q0a22q0a4 5 q0r4q0a4 r2 5 r2 w r 2 1 2 321 D64D1 64D64D a 1 a

q0a2 r2 M 3 1 3 2

16 a

q0a3 3 r2 rdw 2 dr16D 1 a a

3 q0a2 r2 Mr 1 2 16 a

（学生自己求）

讨论：

5 q0a4 3

在板中心处：r 0，w ， Mr r 0 M r 0 q0a2

641 D16

q0a3dw

在板边界处：r a， ，Qr

drr a81 D

2．无孔圆板边界受均布力矩载荷M：

r a

q0a

2

q 0， w C3r2 C4

边界条件：w

r a

特解w* 0，

0，

Mr

r a

M

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2

C3a C4 0 2 1 DC3 M

M

C 3

21 D

Ma2

C 4 21 D

Ma2 r2

w 1

21 D a2

3．空心圆板，内边界简支而外边界自由，外 …… 此处隐藏：5145字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……