哈工大概率论答案-习题五

习 题 五

1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设X为已取出的废品只数，则X的分布为

X

即

PX

012828218

1010910980810

1845

21 45

所以

P

822 ， 454598442

, EX

454515

EX

DX EX (EX)

2

2

4488 . 1581405

2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少？

解 设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为10,5,0, 2. 又设X为机器一周内发生故障的次数，则X~B(5,0.2)，于是， P(T 10) P(X 0) (0.8) 0.3277 P(T 5) P(X 1) C50.2 (0.8) 0.4096 类似地可求出T的分布为 1

4

5

T 20510

P0.05790.20480.40960.3277

所以一周内的期望利润为

ET 2 0.0579 5 0.4096 10 0.3277 5.209（万元）

·55·

3．假设自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N( ,1)，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的内径X有如下关系：

1,若X 10,

T 20,若10 X 12,

5,若X 12.

问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大.

1 P(X 10) 20 P(10 X 12 ) P5X( 解 ET

(

10

) 20[ (12 ) (10 )] 5[1 (12 )] 1

25 (12 ) 21 (10 ) 5

dET

25 (12 ) 21 (10 ) d

2

2

) )

(10 (12

22

21 25 0

即

[(12 )2 (10 )2]21 12 e 25

两边取对数得

2 22 ln即

11 时，平均利润最大.

4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

21

25

125ln. 221

2，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X5

k 0,1,2,3.

的分布律、分布函数和数学期望. 解 X~B(3即

223)P(X k) C3k()k()3 k，分布律为555

·56 ·

X

P

02712515412523612538 125

X的分布函数为

x 0, 0,

27 ,0 x 1, 125 81

,1 x 2, F(x) 125 117

2 x 3, 125,

x 3. 1,

5472241506 EX

1251251251255

5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 P(X k) (1 p)k 1p，0 p 1,求EX与DX 解1 EX 其中 q 1 p 由函数的幂级数展开有 所以

k 1,2,

k p x

k 1 x q

k(1 p)

k 1

k 1

p p kq

k 1

k 1

p (x)

k

k 1

x q

x

k 0

k

1， 1 x

1 1

EX p 1 p

(1 x)2 1 x x q

因为

EX 所以

DX EX (EX)

2

2

x q

1

. p

2

k

k 1

2

pq

k 1

x 2 p k

， p x( x) p 22 p k 1 x q (1 x) x q

2 p1q

. p2p2p2

·57·

解2 EX P 2pq 3pq2 kpqk 1 p(1 2q 3q2 kqk 1 ), 设

S 1 2q 3q2 kqk 1 , （1） 则

qS q 2q2 3q3 kqk , （2） （1）–（2）得

(1 q)S 1 q q2 qk 1

所以

1， 1 q

S

从而，得

EX pS p

11

，

(1 q)2p2

11

. 2

pp

22n

EX2 p 22pq 32pq npq 1

p(1 22q 32q2 n2qn 1 ) pS1，

223 qSq 32q 1 q 2

2n

nq ,

(1 q)S1 1 3q 5q2 (2n 1)qn 1 S2, qS2 q 3q2 5q3 (2n 1)qn ,

2q2q2n 1

1 (1 q)S2 1 2(q q q ) 1 ， 1 qp

12q

S2 2，

pp

于是

S1 所以

EX p(故得X的方差为

2

S212q 2 3， ppp

12q12q

， )

p2p3pp2

12q1q1 p

2 2 2 2. ppppp

DX EX2 (EX)2

·58 ·

6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.

1 |x|

e； 2

1 |x|,|x| 1,

（2）f(x)

0,|X| 1; 1522

x(x 2),0 x 2,

（3）f(x) 16

其他; 0,

（1）f(x)

x,0 x 1,

（4）f(x) 2 x,1 x 2,

0,其他.

1 |x|x （因为被积函数为奇函数） 2dx 0，

12

x2e |x|dx x2e xdx DX EX 02

解 （1）EX

xe （2）EX

2 x

2

0

xedx 2[ xe

x

x

0

e xdx] 2.

1 1

x(1 |x|)dx 0,

2

1

2

1

2

3

x3x411

DX EX x(1 |x|)dx 2 (x x)dx 2[ ]0 .

10346215152532

x(x 2)dx (x 4x4 4x3)dx （3）EX 01616015 x6454x4 1516 x 1, 16 654 01615

15 x74x64x5 8156254

(x 4x 4x)dx EX ， 01616 765 07

2

2

2

所以

DX EX (EX) （4）EX

2

22

81

1 . 77

2

32

1x222

xdx (2x x)dx x 0 1

331

1

2

1

28

3 1, 33

EX

10

xdx (2x2 x3)dx

1

3

2

12114

(8 1) (16 1) , 43412

·59·

所以

DX

141 1 . 126

1

1 X

7．在习题三第4题中求E 解 因X的分布为

X

所以

P

01211421831 8

1111111167

. 1 X224384896

8．设随机变量X的概率密度为

ax,0 x 2,

f(x) cx b,2 x 4,

0,其他.

3

已知EX 2,P(1 X 3) ，求

4

（1）a,b,c的值

E

（2）随机变量Y eX的数学期望和方差. 解 （1）1

f(x)dx axdx (cx b)dx

2

24

a22c244

x x bx2 2a 2b 6c, 2022

2 解方程组

xf(x)dx ax2dx (cx b)xdx

2

24

856

a c 6b， 33

23335

axdx (cx b)dx a c b，

12422

1 a b 3c 2

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