2004-2012年历年考研数学三真题及答案解析

是cxk等价无穷小，则

(A) k 1,c 4 (B) k 1,c 4 (C) k 3,c 4 (D) k 3,c 4

x2f(x) 2f(x3)

(2) 已知f(x)在x 0处可导，且f(0) 0,则lim 3x 0x

(A) 2f(0) (B) f(0) (C) f(0) (D) 0 (3) 设 un 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

'

'

'

u

n 1

n

收敛，则

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛

(B) 若

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛，则 un收敛

n 1

(C) 若

u

n 1

n

收敛，则

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛

(D) 若

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛，则 un收敛

n 1

(4) 设I 小关系是

4

ln(sinx)dx,J 4ln(cotx)dx,K 4ln(cosx)dx 则I,J,K的大

(A) I J K (B) I K J (C) J I K (D) K J I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3

100 100

行得单位矩阵记为P10 ，P2 001 ，则A 1 1

001 010

1 1

(A)PP12 (B)P2P1 (D) P1P2 (C)P2P1

(6) 设A为4 3矩阵, 1, 2 , 3 是非齐次线性方程组Ax 的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax 的通解为

(A)

2 3

2

k1( 2 1)

k2( 2 1) 2 3

(C) 2 k1( 3 1) k2( 2 1)

2 3

(D) 2 k2( 2 1) k3( 3 1)

2

(B)

(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是

(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)

(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x) f2(x)F1(x)

(8) 设总体X服从参数 ( 0)的泊松分布，X1,X1, Xn(n 2)为来自总体的简

2 3

1n 111n

单随即样本，则对应的统计量T1 Xi，T2 X Xn i

n 1i 1nni 1

(A)ET1 ET2,DT1 DT2 (B)ET1 ET2,DT1 DT2 (C)ET1 ET2,DT1 DT2 (D) ET1 ET2,DT1 DT2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设f(x) limx(1 3t)，则f(x) ______.

t 0

x

t

'

x

(10) 设函数z (1 )y，则dz|(1,1) ______.

y

(11) 曲线tan(x y (12)

曲线y 的体积______.

(13) 设二次型f(X1,X2,X3) xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x Qy的标准型为______.

(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N( , ; , ;0)，则E(XY) ______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

2

2

2

x

4

ey在点(0,0)处的切线方程为______.

x 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体

求极限x 0

.

(16) (本题满分10分)

已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1) 2是f(u,v)的极值，

2z

z f (x y),f(x, 。求y)|(1,1).

x y

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明4arctanx x

4

0恰有2实根。 3

(19) (本题满分10分)

f(x)在 0,1 有连续的导数，f(0) 1，且

Dt

，f'(x y)dxdy ft(dxdy)

Dt

Dt {(x,y)|0 x t,0 y t,0 x y t}(0 t 1)，求f(x)的表达式。

(20) (本题满分11分)

TTTT

设3维向量组 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT

， 3 线性标出。 2 （1,2,3）（1,3,5）

求：(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)将 1， 2， 3由 1， 2， 3线性表出. (21) (本题满分11分)

11 11

已知A为三阶实矩阵，R(A) 2，且A 0000 ，

11 11

求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：

2

2

且P(X Y) 1，

求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；

(Ⅱ)Z XY的分布； (Ⅲ) XY. (23) (本题满分11分)

设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x 求：(Ⅰ)边缘密度

(Ⅱ)

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

y 0，x y 2与y 0围成。

fX(x)；

fX|Y(x|y)。

(1) 若lim ( a)ex 1，则a等于

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y p(x)y q(x)x的两个特解，若常数 ，

'

1

x 0x

1

x

u使 y1 uy2是该方程的解， y1 uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）

1111， （B） ， 22222122

（C） ， （D） ，

3333

（A）

(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x) 0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则

"

f g(x) 在x0取极大值的一个充分条件是（）

（A）f(a) 0 （B）f(a) 0 （C）f(a) 0 （D）f(a) 0

(4) 设f(x) lnx，g(x) x,h(x) e,则当x充分大时有（） （A）g(x) h(x) f(x) （B）h(x) g(x) f(x) （C）f(x) g(x) h(x) （D）g(x) f(x) h(x)

10

"

"

'

'

x

10

r可由向量组Ⅱ： 1， 2， s线性表示，下列命题正确(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2，

的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r s (6) 设A为4阶实对称矩阵，且A2 A 0,若A的秩为3，则A相似于

1 1

1 1

（B） （A）

1 1

00

1 1 1 1 （D） （C） 1 1

0 0 0

1

(7) 设随机变量的分布函数F(x)

2 x 1 e

（A）0 （B）

x 0

0 x 1，则P X 1 x 1

11

（C） e 1 （D）1 e 1

22

？(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为 1,3 上的均匀分布的概率密度，若f(x)

af1(x)

bf2(x)

x 0x 0

(a 0,b 0)为概率密度，则a,b应满足

（A）2a 3b 4 （B）3a 2b 4 （C）a b 1 （D）a b 2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y y(x)由方程

x y

e tdt xsint2dt确定，则

2

x

dydx

______.