初等代数试卷加答案

玉溪师范学院20 至20 学年上学期期末考试试卷

课程名称：《初等代数研究》（编号：Ｂ）

（本卷满分100分，考试时间120分钟）

1、 若(a1,a2, ,an) 1，则a1,a2, ,an两两互素. （ × ） 2、 设 是无理数，则( 1)3 ( 1)3不能全是有理数. （ √ ） 3、 函数f(x) 1与g(x) x0表示同一个函数. （ × ）

考试方式:

考试

考查

闭卷

开卷

仅理论部分

其他 )

请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。

系（院）：数学系 专业：数学与应用数学 年级：05 级 班

学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分

一、填空题（本大题共 8 题，每空3 分，共24 分）

1、设2a 3b 5c 6,a 0,b 0,c 0

，求a2

bc的最大值

2780

.

2、已知函数f(x) ax

b的图象经过点（1，

7），其反函数的图象经过点（4，0），则f(x)

4x

3.

3、已知10

33

a(mod9),0 a 9，则a 4、既约真分数

a可以化为纯循环小数的充要条件是 b

(b

,1 0) .

5、如果复数(m2 3m 4) (m2

5m 6)i是纯虚数，则m 4 .

6、求的值12

.

7、若不等式2 x x 7 m有实数解，则m的取值范围是m 98、已知(x 1)(3x 2) 0，则2x 1 .

二、判断题（本大题共5题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，

共 10分）

第 1 页4、函数y ln(x 是非奇非偶函数. （ ×） ５、设a anan 1 a1a0，则正整数a能被11整除的充要条件是

11an

0 a1 a2 ( 1)an （ √ ）

三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2

分，共 10 分）

1、 函数f(x) log2

2(x 2x 3)的单调递增区间是（ D ）

Ａ、( , 1) Ｂ、( ,1) Ｃ、(1, ) Ｄ、(3, )

2、 下列不等式中，正确的是（ C ）

2

Ａ、x 1x

2 Ｂ、sin cos 2 Ｄ、2

1 2 x 2x

16x

4

2

33、 曲线y

(x 1)(x 1)

2

在区间 1,5 上是（ A ）

Ａ、凹的 Ｂ、凸的 Ｃ、有凹有凸

4、多项式f(x) x3 ax2

5x 1被x 2除所得余数为3，则a （ D ）

Ａ、1 Ｂ、 1 Ｃ、4 Ｄ、 4

5、已知集合M (x,y)x y 2 ，集合N (x,y)x y 4 ，则M N （ B ）

Ａ、x 3,y 1 Ｂ、 (3, 1) Ｃ、(3, 1) Ｄ、 3, 1

3 页）

（共

四、解答题（本大题共 7 题，第1－5小题每题 6分，第6、7小题每题7

分，共 44 分）

1、 已知g(0) 16,g(1) g(2) g(3) 2，求3次多项式g(x).

解：设f(x) g(x) 2，则有f(0) 18,f(1) f(2) f(3) 0 根据多项式关于它的根的分解式，可设f(x) A(x 1)(x 2)(x 3) 再由f(0) 18，得 6A 18,A 3 所以 g(x) f(x) 2 3(x 1)(x 2)(x 3) 2

2、 3x3 18x2 33x 16在有理数域上将(a 1)2x4 2(a 1)x2y2 y4分解因式.

解：(a 1)2x4 2(a 1)x2y2 y4

[(a 1)x2 y2]2 2(a 1)x2y2 2(a 1)x2y2

[(a 1)x2

y2]2

4x2

y2

[(a 1)x2

y2

2xy][(a 1)x2

y2

2xy]

或 [(x y)2 ax2][(x y)2 ax2]

3、 已知

2

2

x ，6sinx sinxcosx 2cos2

x 0，求tg2x的值.

解：因为6sin2 sinxcosx 2cos2

x 0，所以有

(2sixn

cxos)(3x sinx2 c o

s于是 2sin

x cxo s

或3sinx 2cosx 0得 tgx 122

或tgx

3

2 (

2)

由于

2

x ， 所以取tgx

23

从而 tg2x

2tgx321 tg2

x

11 ( 2

253

)

4、

x 1. 解：不等式同解于不等式组

4 x2 0　　　　　（1）

x 1 0　　　　　　（2）　

4 x2 (x 1)2　　 （3）由（1）式，得x2 4，于是 2 x 2 由（2）式，得x 1

由（3）式，得2x2 2x 3

0，于是x

1

1

2或x

2

所以不等式的解集为：

1

2

x 2

n

5、求和 k(k 1)(k 2).

k 1

解：令 uk (k 1)k(k 1)(k 2)，则

uk uk 1 uk k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k(k 1)(k 2)

k(k 1)(k 2)[(k 3) (k 1)] 4k(k 1)(k 2)

n

n

于是

k(k 1)(k 2)

1

1k 1

4

uk

1

4

(un 1 u1)

k 6、

14

n(n 1)(n 2)(n 3)

已知x

，求f(x) x4 22x2

48x 2的值.

解：由x

，得x

，两边平方整理得

x2 1 x( 1 两边再平方整理，得x4

22x2

48x 23 0 令g(x) x4

22x2

48x 23

0，则g 0 因 f(x) g(x )

2，所以5

f)

2

5

第 2 页 （共 3 页）

请

考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。

)

log2x log4y log4(4 x)

7、解方程组

log(x y) logx logy333

log4xlog42

x (a 2b c)k　　（1）

　 y (a c)k　　　　（2）

z (a 2b c)k　　（3）

2

解：利用换底公式，有log2x

2

2log4x log4x

2

解得 x 2y z 4ak x z 4bk

log4x log4y(4 x) x y(4 x)　(1)

x 2y z 4ck

请

考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。方程组可写为 log(x y) logx 　x x

　　 33y y 　 (2)　

y由（1）得 y

x

2

代入（2）式，得x

2

4 x

x

4 x

4 xx

解得x 4（舍）， 或x 4

3 所以方程组的解为 x

4

3 y

2

3

五、证明题（本大题共2 题，每小题6分，共12分）

1、用自然数的序数理论证明

（1）9 3 12； （2）9 3 27.

证明：（1） 9 1 9 10 （2） 9 1 9 9 2 9 1

(9 1)

10

11 9 2 9

1 9 1 9 9

9 3 9 2

(9 2)

11

12 9 3 9

2

9 2 9 18 9

２、已知 xa 2b c

y za c

a 2b c

，

求证：

ax 2y z

bx z

cx 2y z

证明：设

xy

za 2b c

a c

a 2b c

k，则有

所以

第 3 页 （共 3 页）

a b cx 2y z

x z

x 2y z

14k