高三理科数学一轮总复习 第九章 证明方法与极限

高三理科数学一轮总复

习第九章证明方

法与极限

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2 高三理科数学一轮总复习 第九章 推理与证明、极限

1．推理方法：

合情推理

（1）归纳推理：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

例：已知 ，考察下列式子：

111()1i a a ?

≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥.

可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . （2）类比推理：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

例：在R t △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想．

（3）合情推理： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较，再进行联想、归纳，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

（4）演绎推理：

① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理???

归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊； 演绎推理：由一般到特殊. 三段论推理是演绎推理的一般模式．

在推理中：“若b ?c ，而a ?b ，则a ?c ”，这种推理规则叫三段论推理．它包括：

（1）大前提——已知的一般性原理．

3 （2）小前提——所研究的特殊情况．

（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

例：《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）

A ．类比推理

B ．归纳推理

C ．演绎推理

D ．一次三段论

例： “因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13

x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13

x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是（ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错

C ．推理形式错导致结论错

D ．大前提和小前提都错导致结论错

2．证明方法

（1）直接证明与间接证明

（2）反证法

（3）数学归纳法

第一数学归纳法：

①证明当n 取第一个0n 时结论正确；

②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立． 第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果

①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；

②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立． 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立．

例1 已知数列{}n a 满足2

11=a ，n n a n a a a 221=+++ ，1≥n ，求通项n a ．

4

例2 已知函数x e x

x f 1

21)(-=， （1）判断)(x f 的奇偶性；

（2）在)0,(-∞求)(x f 的极值； （3）求证：当0>x 时对任意的正整数n ，都有n x n x

f -<2!)1(．

2．数列极限；

（1）数列极限的表示方法： ①a a n n =∞

→lim ②当∞→n 时，a a n →．

（2）几个常用极限： ①C C n =∞

→lim （C 为常数） ②),(01

lim 是常数k N k n k n ∈=∞→

5 ③对于任意实常数， 当1<a 时，0lim =∞

→n n a 当1=a 时，若1=a ，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞

→∞→不存在 当1>a 时，n n a ∞

→lim 不存在 （3）数列极限的四则运算法则：

如果b b a a b n n n ==∞

→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞

→)(lim ②b a b a n n n ?=?∞

→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b b

a b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =?=?∞→∞→∞→lim lim )(lim ．

（4）数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1<q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11<-=q q

a S ． （化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限．

3．函数极限；

（1）当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(．

6 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =．（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．?函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0

x f x x →存在的既不充分又不必要条件．） 如?

??+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零．

（2）函数极限的四则运算法则：

如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0

0，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0

②b a x g x f x x ?=?→))()((lim 0

③)0()()(lim 0≠=→b b

a x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么

)(lim ))((lim 00

x f C x f C x x x x →→=?． n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ）

注：①各个函数的极限都应存在．

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．

（3）几个常用极限： ①01lim =∞→x

n ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞

→x x a （a ＞1）