2014北京东城高三二模数学(理)试卷

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）设集合A {x Rx 1 2}，集合{ 2, 1,0,1,2}，则A

B=

（A）{2} （B）{1,2} （C）{0,1,2} （D）{ 1,0,1,2} （2）在复平面内，复数

2

i3对应的点位于 1 i

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x值为 （A）2或 2 （B） 1或 2

（C）1或 2 （D）2或 1

x y 1 0,

(4) 如果实数x，y满足条件 x y 1 0, 则z 2x y的最大值为

y 1 0,

（A） 3 （B） 1 （C）0 （D）1

（5）设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sn 2 Sn 36，则n （A）5 （B）6

（C）7 （D）8

（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为

（A）12 （B）18 （C）24 （D）36 （7）若直线 则a的值为

（A）1 或5 （B） 1 或5 （C）1 或 5 （D） 1 或 5

x 1 t, x 2 2cos

（t为参数）被圆 （ 为参数）

所截的弦长为 y 2 2sin y a t

b定义运算（8）对任意实数a，“⊙”：a

,b ,1 ba

设f(x) (x2 1)b

,1 a,a b

(4 x) k，

若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是

（A）( 2,1) （B）[0,1] （C）[ 2,0) （D）[ 2,1)

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知tan =2，那么cos2 ．

（10）已知平面向量a，b，若a

3，a b a b 6，则b ；向量a，b夹角的大小为 ．

（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x，y,则事件“2x y 6”的概率为_________． （12）如图所示，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，AD BC，垂

足为D，且D是OC的中点，若PA 6，则PC ．

（13）若直线y k(x 1)(k 0)与抛物线y2 4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若BN 2AM，则k的值是 ．

P是正方体棱上一点（不包括棱的（14）在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点

端点），PA PC1 m，

①若m 2，则满足条件的点P的个数为________；

P的个数为6，则m的取值范围是． ②若满足PA PC1 m的点

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

2

已知函数f(x) sinxxsin(x ).

2

（Ⅰ）求f(

)的值； 12

（Ⅱ）当x [0,]时，求函数f(x)的最大值和最小值． （16）（本小题共13分）

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在

2

[50,60)年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，四棱锥E ABCD中，平面EAD 平面ABCD,DC// AB,BC CD,

EA ED,且AB 4，BC CD EA ED 2.

（I）求证：BD 平面ADE；

（II）求BE和平面CDE所成角的正弦值；

（III）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF 平面CDE，请说明理由.

（18）（本小题共13分）

已知a 0，函数f(x)

ax

2a，g(x) alnx x a. x2 1

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2). （19）（本小题共13分）

x2y2已知椭圆2 2 1的一个焦点为F

(2,0)

ab（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,

B两点，P为直线x 3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.

（20）（本小题共14分）

设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，． an f(an 1)（n N*，n 2）

（Ⅰ）求f(99)，f(2014)；

（Ⅱ）若a1 100，求证：a1 a2；

（Ⅲ）当a1 1000时，求证：存在m N*，使得a3m a2m．

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （11）

3

（10）4

60 5

1

（12）

4

（13

）

（14）6

3

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

2解：

（Ⅰ）f(x) sinx xsin(x )

2

sinxxcosx

2

1 cos2x

2x

211

2x cos2x

22

sin(2x )

所以f(

x 0

y x2 1

61． 2

1

) ． 7分 122

（Ⅱ）当x [0,]时，

所以，当2x

2 5 2x ． 666

时，即x 0时，函数f(x)取得最小值0； 66

当2x

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35，

3

时，即x 时，函数f(x)取得最大值． 13分 6232

0 10 0 .35，

即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35． 4分 （Ⅱ）100 0.15 15，100 0.05 5，

所以5

8

2， 20

即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． 7分

（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．

3C65

P(X 0) 3 ；

C81412C2C615

P(X 1) ； 3

C82821C2C3

P(X 2) 36 ．

C828

所以X的分布列为

3

X的数学期望为EX

0 1 2 ． 13分