立体几何大题训练,经典题

1．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD DC 1，E是PC的中点，作EF PB交PB于点F．

(I) 证明： PA∥平面EDB； (II) 证明：PB⊥平面EFD；

(III) 求三棱锥P DEF的体积．

2 .（本小题满分14分）正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点． (Ⅰ) 求证：B1D1 AE； (Ⅱ) 求证：AC//平面B1DE

（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

1

A1

E

CA

18.(本小题满分14分）如右图，在直角梯形ABCD中， B=900，

1

DC//AB,BC=CD=AB=2，G为线段AB的中点，将ADG沿GD

2

折起，使平面ADG 平面BCDG,得到几何体A-BCDG. （1）若E,F分别为线段AC,AD的中点， 求证：EF//平面ABG; (2)求证：AG 平面BCDG; (3)求VC-ABD的值。

D

D

4、（本小题满分14分）

AB是圆柱底面圆的直径， 如图4，A1A是圆柱的母线，

A1

C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AA1 AB 2.

（1）求证：BC 平面A1AC； （2）求三棱锥A1 ABC的体积的最大值.

A

图4

B

5.(本小题满分14分） 如图，已知PA ⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB 2， C是⊙O上一点，且AC BC，PC与⊙O所在的平面成45 角， E是PC中点．F为PB中点． (Ⅰ) 求证： EF//面ABC； (Ⅱ) 求证：EF 面PAC； （Ⅲ）求三棱锥B-PAC的体积．

C

B

6．（本小题满分14分）

CD 1， BCD 60 ，如图，平行四边形ABCD中，且BD CD，正方形ADEF

和平面ABCD成直二面角，G,H是DF,BE的中点． （Ⅰ）求证：BD 平面CDE； （Ⅱ）求证：GH//平面CDE；

（Ⅲ）求三棱锥D CEF的体积．

7．（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.

（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （II）求此几何体的体积．

A1

B1B

C1

A

O

C

E

D

8．（本小题满分14分）

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

9．（本小题满分14分）

A1

1

A

F

如图1，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF 平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2．（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；

F

（Ⅱ）求三棱锥F BCE的体积．

2

E1

E

D

C

D

C

1B

A

B

1

A

1

图

图

10．（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC A1B1C1中，AD 平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上． （Ⅰ）求证：BC A1B；

（Ⅱ

）若ADAB BC 2，P为AC的中点，求三棱锥P A1BC的体积．

1

A1

C1

1．解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在 PAC中，EO是中位线，∴PA // EO 而EO 平面EDB且PA 平面EDB，

所以，PA // 平面EDB． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC 底面ABCD，∴PD DC ∵PD=DC，可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE PC ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而DE 平面PDC，∴BC DE ②

由①和②推得DE 平面PBC

而PB 平面PBC，∴DE PB

又EF PB且DE EF E，所以PB⊥平面EFD ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）∵PD DC 1，

由PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥BC，

又∵ BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD， ∴ BC⊥PC． 在△BDE

中，DE

2

2

C

A

BD BE

2

∴ DE BE BD

13

2 0，即DE⊥BE． 22

而由（2），PB⊥平面EFD，有PB⊥DE，因而DE⊥平面BEF， 在

Rt△BPD

中，BF BP BD

2

，BF

2；Rt△BEF中，

EF BE2 BF2

∴V

1

． 6

111 DE EF PF ． ．．．．．．．．14分 3236

2．解： (Ⅰ)证明：连结BD，则BD//B1D1，

∵ABCD是正方形，∴AC BD．∵CE 面ABCD，∴CE BD． 又AC

CE C，∴BD 面ACE． ∵AE 面ACE，∴BD AE，

∴B1D1 AE．

（Ⅱ）证明：作BB1的中点F，连结AF、CF、EF． ∵E、F是CC1、BB1的中点，∴

CE

B1F，

∴四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF// B1E． ∵E,F是CC1、BB1的中点，∴EF//BC， 又BC//AD，∴EF//AD．

∴四边形ADEF是平行四边形， AF//ED， ∵AF

CF C，B1E

ED E，

∴平面ACF//面B1DE．

又AC 平面ACF，∴AC//面B1DE． （3）S

ABD

1

AB AD 2． 2

V VA BDE

EAB

1

S 3

ABD

1

CE3

S

2

ABC． D3

4证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆 柱底面圆的直径，

∴BC⊥AC, ……2分 ∵AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴AA1⊥BC， ……4分 ∵AA1∩AC=A，AA1 平面AA1 C， AC 平面AA1 C，

∴BC⊥平面AA1C. ……6分

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，

A1

A

C图4

B

BC= ……7分

故VA1-ABC=即VA1-ABC

1111

SABC AA1 AC BC AA1

33231= ……11分 3∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2

，即x=时，

2

. ……14分 3

5(Ⅰ)证明：在三角形PBC中，E是PC中点． F为PB中点

三棱锥A1-ABC的体积的最大值为

所以 EF//BC，BC 面ABC,EF 面ABC, 所以 EF//面ABC……4分

(Ⅱ)

PA 面ABC

BC PA ……（1）

BC 面ABC

又AB是⊙O的直径，所以BC AC……（2）……7分 由（1）（2）得BC 面PAC ……… 8分 因 EF//BC BC 面PAC，所以EF 面PAC……9分

（Ⅲ）因PA ⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影， PCA即为PC与面ABC所成角 ， PCA 45 ，PA=AC ……… 11分 在Rt ABC中，E是PC中点， BAC

4

,AC BC 2 ……12分

VB PAC VP ABC

12

…14分 S ABCPA

33

7．（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．

则OD∥BB1∥CC1． ……2分

O是AB的中点， OD

1

(A1A B1B) 3 CC．1 2

A

O

A2

H

CC2

则ODC1C是平行四边形， OC∥C1D．……4分

C1D 平面C1B1A1且OC 平面C1B1A1，

OC∥面A1B1C1． ……6分

（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，

A1

D

B1

C1

CC1于A2，C2．

作BH A2C2于H． …… 此处隐藏：3323字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……