1.6.2__第2课时__平面与平面垂直的性质

第2课时 平面与平面垂直的性质

1.平面与平面垂直的定义是什么？ 如何判定平面与平面垂直？

2.平面与平面垂直的判定定理，解决了平面与平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪 些结论？

墙壁与地面是垂直的,你有什么发现?

问题1:如果平面α 与平面β 互相垂直，直线l在平面α 内，那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？

α

l

α

l

αl

β

β

β

问题2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否 存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？

α

β

问题3:长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直， 其交线为AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线 AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？

垂直 C1 B1 C B A A1 D D1

问题4:一般地， , CD, AB , AB CD, 垂足为B,那么直线AB与平面 的位置关系如何？

垂直 β D B C A

α

平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面.

β

Dα

B C

A

问题6:如何用符号语言描述这个定理？ 该定理在实际应用中有何理论作用？

α l β m

, m, l , l m l .

问题1:若α ⊥β ,过平面α 内一点A作平面β 的垂线，垂足为B,那么点B在什么位置？说明你的理由.

α

A

β

B

问题2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过

一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实际应用中有何理论作用？

α

A

β

B

问题3:对于三个平面α 、β 、γ ,如果α ⊥γ ,β ⊥γ ,

l ,那么直线l与平面γ 的位置关系如何？为什么？

l α γ

β

已知：三个平面 , , , 且 , , l求证： l 证明：在平面 内作直线 a 垂直于平面 与平面 的交线， 作直线 b 垂直于平面 与平面 的交线则 a ,b ,又 l , ∴ l a, l b

l

β a

αb γ

∴l

例 1:如图，长方体 ABCD A B C D 中，MN 在平面 BCC B 内，

MN BC 于点 M.判断 MN 与 AB 的位置关系，并说明理由.解：显然，平面 BCC B 平面ABCD ,交线为 BC .

因为 MN 在平面 BCC B 内，且 MN BC ,所以 MN 平面ABCD ,

又 AB 平面ABCD ,从而 MN AB .

例2:如图，已知PA⊥平面ABC,

平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥AB证明：过点A作AE⊥PB垂足为E P ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB AB

平面ABC∴ AB ⊥BC B C

1.判断题： (1)两个平面垂直，经过一个平面内的一点与交线垂直的直线 垂直于另一个平面 (2)三个平面α 、β 、γ ,若α ⊥β ,β ⊥γ ,那么α ∥γ (3)三个平面α 、β 、γ ,若α ∥β ,γ ⊥α ,那么γ ⊥β (4)过平面外的一条直线只可以作一平面垂直于这个平面2.若平面α 、β 互相垂直，则( A α 中的任意一条直线垂直于β C 平行于α 的直线垂直于β

(

×) (×) (√) (×)

D

) B α 中有且只有一条直线垂直于β D α 内垂直于交线的直线必垂直于β