选修3.3.1利用导数判断函数单调性新授

利用导数判断函数单调性新授

利用导数判断函数的 单调性

利用导数判断函数单调性新授

一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式(1).常函数：(C)/ 0, (c为常数);

(2).幂函数 ： (xn)/ nxn 1(3).三角函数 ：

(cos ( ) x) cos x (2) x) sin x 1 (sin1 (log a x) . x ln a

(4).对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x (5).指数函数的导数:

ex. (1) (e )xx

a x ln a(a 0, a 1). ( 2) (a )

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2.导数的运算法则(1)函数的和或差的导数 (2).函数的积的导数

(u±v)/=u/±v/.

(uv)/=u/v+v/u.(3).函数的商的导数 (

u)/ = v

u 'v v 'u 2 v

(v≠0)。

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二、复习引入:函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

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(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；

若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.

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[1,+∞) 1.函数 y=x2-2x 的单调递增区间是_________, (-∞,1] 单调递减区间是_________ . cosx 2.函数 f(x)=sinx 的导数 f′(x)=_____;在区间 π 增 0, 上，f(x)单调递____(填“增”或“减”), 2 > f′(x)___0(填“>”或“<”).

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单调性与导数有什么关系？

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观察函数y=x2-4x+3的图象： y

0

. . . . . ..2

x

总结:该函数在区间 (-∞,2)上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间(2, +∞)上单增,切线斜 率大于0,即其导数为 正.而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.

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结论：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这 个区间内y ′ >0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内y ′ <0,那么y=f(x)为这个区间内的 减函数. y ′ >0 增函数王新敞奎屯 新疆

y ′ <0

减函数

判断函数单调性的常用方法： (1)定义法 (2)导数法

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函数的单调性与导数的关系

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例题讲解

例1 确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个 区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1. ∴当x∈(1,+∞)时， f′(x)>0,f(x)是增函数. 令2x-2<0,

解得x<1. ∴当x∈(-∞,1)时， f′(x)<0,f(x)是减函数O1 2

y

f x = x2-2 x +4

x

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例2 确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x

y

令6x2-12x>0,解得x>2或x<0 f x = 2 x3-6 x2 +7 ∴当x∈(-∞,0)时，f′(x)>0,

f(x)是增函数.当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0,

f(x)是增函数. 2-12x<0,解得0<x<2. O 令6x

1 2

x

∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0,f(x)是减函数.

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2、导数的应用：判断单调性、求单调区间用导数法确定函数的单调性时的步骤是：

(1)求出函数的导函数(2)求解不等式f ′(x)>0,求得其解集，

再根据解集写出单调递增区间(3)求解不等式f ′(x)<0,求得其解集，

再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。

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例3

1 证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x证法一：(用以前学的方法证)任取 两个数x1,x2∈(0,+∞)设x1<x2.

1 1 x2 x1 f(x1)-f(x2)= x1 x2 x1 x2

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

x 2 x1 ∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴ >0 x1 x 2

1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x

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证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=(

1 x

)′=(-1)·-2=- x

∴x2>0,∴-

1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x点评：比较一下两种方法，用求导证明是不 是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用 导数的符号判别函数的增减性更能显示出它 的优越性.

1 2 x

1 2 x

,x>0,

<0. ∴f′(x)<0,

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在区间(a,b)内，若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单 调递增，反之也成立吗？ 提示： 在区间(a,b)内，若f(x)在此区间上单调递增，则 f′(x)>0. 不一定成立.比如y=x3在R上为增函数，但其在0 处的导数等于零.也就是说“f′(x)>0”是“y=f(x) 在某个区间上递增”的充分不必要条件.