北京科技大学高数A答案4.2

北京科技大学高数A第四章答案

习题4-2 （A）

1.比较下列积分大小

（1） edx和 exdx

x0

1

1

2

解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x) 0,而 f(x)dx是数值，它只有是零

a

b

和不是零两种可能，设若 f(x)dx=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)

a

b

不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x) 0且f(x)不恒等于0，则 f(x)dx>0.

a

b

1

01

(e e)dx在[0,1]上e-e

xx

2

xx

2

0且e-e

xx

2

不恒等于0，所以

1

(e e)dx>0，所以

xx

2

edx> edx。

01

2

1

3

x

1

x

2

（2） xdx和 xdx 解： xdx xdx

1

2

1

3

2

1

(x x)dx，因为在[0,1]上x-x 0且x-x不恒等于0，所以

3

1

2

1

3

232323

1

xdx xdx

02

2

2

1

1

2

1

3

1

(x x)dx>0，所以 xdx> xdx。

（3） xdx和 xdx 解： xdx xdx

1

1

2

2

2

3

3

2

2

1

(x x)dx，因为在[1,2]上x-x 0且x-x不恒等于0，所以

3

2

2

2

3

232323

2

1

xdx xdx

1

2

2

3

2

1

(x x)dx<0，所以 xdx< xdx。

1

1

（4）

20

sinxx

和

2

sinxx

2

2

dx

解：构造函数f(x)= sinx-x,则f’(x)=cosx-1,在（02] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x<f(0)=0,所以sinx<x,而在（0，2] 上sinx ,x都是大于0的，所以sinx/x在（0，2] 上小于1，所以

在（0，2] 上（5）

10

sinxx

>

sinxx

10

2

2

，所以 （

20

sinxx

sinxx

2

2

）dx>0，有

20

sinxx

>

20

sinxx

2

2

ln(1 x)dx和

arctanx1 x

北京科技大学高数A第四章答案

解：构造函数f(x)=ln(1+x)-

arctanx1 x

,在[0,1]上f’(x)=

10

x

2

2

(1 x)(1 x)

(ln(1 x)

arctanx(1 x)

)dx

2

>0,所以f(x)

在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有

arctanx1 x

>0，于是

1

ln(1 x)dx>

10

arctanx1 x

dx。

2.估计下列各积分的值

（1） (x2 1)dx

14

解：只须求出f(x)在区间上的最大、最小值M与m，便可用估值定理估计。显见x2+1在[1,4]上单调增加，有m=2,M=17,即2 x+1 17，x∈[1,4],而b-a=3,所以2*3=6 (x 1)dx

1

2

4

2

17*3=51，即 6 (x 1)dx 51.

1

5

4

2

（2） 4(1 sinx)dx

4

2

解：记f(x)=1+sin2x,令f’(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得f(x)在区间[

2

5

4,4

]上的驻点x1=

2

,x2= ,

计算f()=1+1=2,f( )=1+0=1,f(

4

)=1+1/2=3/2,f(

5

4

)=1+(

5

2

2

=3/2,所以

m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,其中x∈[

x x

2

5

4,4

],这里b-a= ,所以 4(1 sinx)dx 2 .

4

2

（3） e

2

dx

x x

2

解：记f(x)= e

e

14

,x∈[0,2],因为f’(x)=(2x-1) e

2

14

x x

2

,令f’(x)=0,得到唯一驻点x=1/2,又f(1/2)=

2

,f(0)=1,f(2)= e,所以m=minf(x)= e

x x

2

,M=maxf(x)= e,有因为b-a=-2，所以-2e

02

edx -2e

14

.

3.设函数f(x)与g(x)在任何有限区间上可积

（1）如果 f(x)dx g(x)dx，那么f(x)与g(x)在[a,b]上是否相等？

a

a

b

b

（2）如果在任意区间[a,b]上都有 f(x)dx g(x)dx，那么f(x)是否等于g(x)?

a

a

bb

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(3)如果（2）中的f(x)与g(x)都是连续函数，那么又有怎么样的结论？

解：（1）不一定。f(x)，g(x)恰巧在某一区间[a,b]积分值相等，但是不能说明f(x),g(x)是相等

的，例如f(x)=

4

4

sinxdx 0,g(x)=

4

4

tanxdx 0,但是实际上sinx≠tanx.

(2)不恒等，前提必须f(x),g(x)都是连续函数。例如f(x)=sinx(0 x

0 x ,x

x

2

),g(x)

sinx 0

2

.而 f(x)dx

g(x)dx。

（3）反证法：假设f(x)不恒等于g(x),设f(x)>0,

ba

f(x)dx

ba

g(x)dx,所以

ba

[f(x) g(x)]d x，由例2.1结果f(x)≡g(x)矛盾，所以f(x)≡g(x).

4.证明柯西不等式：若函数f(x)与g(x)在区间上可积，则

( f(x)g(x)dx) ( f(x)dx).( g(x)dx)。

2

2

2

a

a

a

b

b

b

2

证：令L(x)=f(x)+ g(x),则L(x)=f(x)+2 f(x)g(x)+ g(x) 0,从而有 L(x)dx 0，即

2

222

b

a

2

ba

g(x)dx 2 f(x)g(x)dx

a

2

b

b

a

f(x)dx 0.将上式右边视为关于 的二次多项式。

b

2

b

2

b

2

2

因为Ax2+Bx+C 0,可知B2-4AC 0,从而有4( f(x)g(x)dx) 4 f(x)dx g(x)dx，

a

a

a

从而有( f(x)g(x)dx) f(x)dx g(x)dx。

a

a

a

b

2

b

2

b

2

5.设f(x)在区间[a,b]连续，证明

证：利用上题的结论，令

f(x)= ( ab

ba

e

f(x)

dx. e

a

b

f(x)

dx (b a)

2

,g(x)=

x)

,它们都是连续函数，

有) 。

2

）（. a

2

b

)

） (

2

a

)

) b( a

2

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（B）

6.证明闵可夫斯基不等式：若函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上可积，则(