人教版九年级上册 中考数学旋转模型及例题

初中数学

1 旋转的模型及例题

（一）夹半角模型

已知：正方形ABCD 中，∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF ；（2）△EFC 周长等于2倍边长；

方法：将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，然后证△AEF ≌△AEG ；证得

BE+DF=EF

例题：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC 的面积？

解析：将△ABD 和△ADC 分别关于AB 、AC 对称，构造夹半角模型

例题：如图1 ，正方形ABCD 中，M N ，分别是BC CD ，边上的两点，

且45MAN ∠=?， 连结MN ，请写出BM MN DN ，，之间的熟练关系并证明；

如图2，ABC △中，90AB AC BAC =∠=，?，M N ，为BC 上两点，且45MAN ∠=?，请写出线段BM MN CN ，，之间的数量关系，并证明；

（3） 如图3，在（1）中，若点M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，其他条件不变，

(1)中的结论变化吗？

（4） 如图4，在(2)中若点M 在CB 的延长线上，其它条件不变，(2)中的结论还成立吗？请证明你的结论；

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解析：都是通过旋转得来！

推广：一般的夹半角模型

例题：边长为2m 的等边ABC △的两边

AB AC 、上分别有两点M N 、，点D 为平面内 一点，60MDN ∠=?，120BDC BD CD ∠=?=，．当点M 在线段AB 上运动时，探索AMN △的周长与ABC △边长的关系．

⑴ 如图1，当点D 在ABC △外时，AMN △的周长是否发生变化？请证明你的结论． ⑵ 如图2，当点D 在ABC △内时，⑴中的结论是否成立？若成立，请求出此时AMN △的周长；若不成立，请说明理由．

⑶ 如图3，ABC △是满足60BAC ∠=?的任意三角形，其中BC a AC b AB c ===，，．D 是ABC ∠ 与ACB ∠平分线的交点，M N 、分别在AB AC 、上，且60MDN ∠=?．当点M 在线段AB 上运动时，猜想AMN △的周长是否发生变化？若不变，请直接写出AMN △的周长（用B 条件：AB=AD ，∠B+∠D=180°，2∠MAN=∠BAD 结论：BM+DN=MN

条件：△ABC 是等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°

∠MDN=60°

结论：BM+CN=MN △AMN 的周长=2倍边长

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a b c ，，表示，不需要化简）

；若变化，请说明理由．

（二）手拉手模型

等边三角形

图3

图2图1A

B

C

D

M

N

N

M

D

B

A

N

M C

B

A

B

结论：（1） △BGC ≌△DEC （2） BG=DE,BG ⊥DE 结论：（1） △BGC ≌△DEC （2） BG=DE,BG ⊥DE

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4 例题：如图，已知四边形ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=

2

（1） 以线段BD 、AB 、BC 作为三角形的三边，

○1则这个三角形为___________三角形，（锐角、直角、钝角） ○2求BD 边所对的角的度数。

（2） 求四边形ABCD 的面积

.已知：2PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，

使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；

（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的

最大值，及相应∠APB 的大小.