《信号分析与处理》备课教案(第六章)(3)

信号分析与处理

6.5. 离散系统的Z域分析

Z变换在离散时间系统的分析中获得了广泛的应用，其中基于Z变换方法的离散系统Z域分析内容十分丰富。以下对差分方程的Z域解法，离散系统的系统函数H(z)，以及利用H(z)的零极点分布进行离散系统的稳定性分析进行阐述。

一、利用Z变换方法求解差分方程

差分方程有时域和Z域两种解法，通常采用Z变换方法进行求解比较简便。Z变换法解差分方程的过程可分两步：先将差分方程两边取Z变换，利用位移性质并代入初始条件，则差分方程变成Z域的代数方程；然后解该代数方程并进行逆变换以得到差分方程的解。为了方便起见，通常采用单边Z变换。

由第二章所学的知识，线性时不变离散系统的差分方程一般形式是

a0y(n) a1y(n 1) aN 1y(n N 1) aNy(n N) b0x(n) b1x(n 1) bM 1x(n M 1) bMx(n M)

NM

k 0r 0 即， aky(n k) brx(n r) （6.5-1） 将上式两边取单边Z变换，并利用Z变换的时移特性可得：

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1 k l akz Y(z) y(l)z k 0l k

MN 1 r m brz X(z) x(m)z r 0m r

若激励x(n) 0，即系统处于零输入状态，此时表示系 （6.5-2） 统的差分方程（6.5-1）即成为齐次方程：

aky(n k) 0

k 0N

而式（6.5-2）也将变成：

1 k l akz Y(z) y(l)z 0 k 0l kN

1 k l akz y(l)z k 0 l k于是，Y(z) （6.5-3） N k akz

k 0N

对Y(z)求逆Z变换，显然得到的就是系统的零输入响应yx(n)，即。

该响应是由系统的初始状态y(l)，这里( N l 1)而产生的。

若系统的初始状态y(l) 0，这里( N l 1)，即系统处于零初始状态，此时式（6.5-2）变成

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1 k r m akzY(z) brz X(z) x(m)z k 0r 0m rNM

如果激励信号x(n)为因果序列，则有 x(m)z

m r 1 m 0，

因此上式成为：

akz kY(z) brz rX(z) k 0r 0NM

于是，Y(z) r 0

N

k 0 brzM r X(z) kaz k

令，H(z) r 0

N

k 0 rbz rM kaz k

则有，Y(z) H(z) X(z)

对Y(z)求逆Z变换，显然得到的就是系统的零状态响应yf(n)，即。

该响应是在系统的初始状态y(l) 0( N l 1)时，由因果信号x(n)的激励而产生的。

其中，H(z)就是下面将要讨论的离散系统的“系

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统函数”。

综合上述两种情况，系统的全响应就等于零输入响应与零状态响应之和，即

例1、若离散系统的差分方程为y(n) 0.5y(n 1) x(n)，其中x(n) u(n)，y( 1) 1。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

解：(1)零输入响应

因为零输入响应是在激励x(n) 0，仅由系统的初始条件y( 1) 1而产生的响应，因此原差分方程变为： y(n) 0.5y(n 1) 0

对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得： Yx(z) 0.5z 1Yx(z) 0.5y( 1) 0

所以，Yx(z) 0.5y( 1)

1 0.5z 1

10.5z z 0.5 1 z nyx(n) Z[Yx(z)] 0.5 Z 0.5 0.5u(n) z 0.5 因此，

0.5n 1u(n)

(2)零状态响应

因为零状态响应是在系统的初始条件y( 1) 0的情况下，由因果信号x(n) u(n)激励下产生的响应，因此对原差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并

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考虑到系统初始条件为零，可得：

Yf(z) 0.5zYf(z) X(z) 11 0.5z所以，2zz z 1z 0.5 1Yf(z) X(z)zz 1 0.5z 1z 1(z 0.5)(z 1) 12

2z z 1 yf(n) Z[Yf(z)] Z Z z 1 z 0.5 因此， 1 1

2u(n) 0.5u(n) 2 0.5u(n)n n

(3)全响应

y(n) yx(n) yf(n) 0.5

(2 0.5n 1)u(n)n 1u(n) [2 0.5]u(n)n

注意：在上面求Yx(z)和Yx(z)的逆变换而得到yx(n)和yf(n)时，虽然表面上似乎没有考虑收敛域的问题，实际是因为yx(n)和yf(n)均为响应，因此必然都是因果序列，因此其Z变换收敛域均是针对因果序列而言。 例2、若离散系统的差分方程为:

y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) x(n 2)，

其中y( 1) 1,y( 2) 0,x(n) u(n)。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

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解：(1)零输入响应

因为激励x(n) 0，即x(n 2) 0，仅考虑初始条件y( 1) 1和y( 2) 0，因此原差分方程变为：

y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) 0

对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得： Yx(z) 3z 1 Yx(z) y( 1)z 2z 2 Y(z) y( 1)z y( 2)z 0x2将初始条件y( 1) 1和y( 2) 0代入，并整理得： Yx(z) 2z 1 3

1 3z 1 2z 2 3z2 2z 2 z 3z 2(z 1)(z 2) 3z2 2z

z4z (z 2) z 1z 2

z 1 4z yx(n) Z[Yx(z)] Z Z z 1 z 2 因此， 1 1

( 1)nu(n) 4( 2)nu(n) ( 1)n 4( 2)nu(n)

(2)零状态响应

在因果信号x(n) u(n)激励下，系统方程为： y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) u(n 2)

对该差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得： Yf(z) 3zYf(z) 2zYf(z) z

所以，

1 2 2z z 1

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zYf(z) (z 1)(1 3z 1 2z 2)(z 1)(z 1)(z 2) 1z1z1z 6z 12z 13z 2z

因此，

1 1 z 1 1 z 1 1 z yf(n) Z[Yf(z)] Z Z Z 6 z 1 2 z 1 3 z 2

111n u(n) ( 1)u(n) ( 2)nu(n)623

11n1n ( 1) ( 2) u(n)3 62 1

(3)全响应 11n11n y(n) yx(n) yf(n) ( 1) ( 2) u(n) 3 62

二、离散系统的系统函数

由时域分析已知，系统的零状态响应为激励与系统单位样值响应的卷积，即

yf(n) x(n) h(n)

将上式两边作Z变换，并利用Z变换的卷积特性可得： Yf(z) X(z) H(z)

这里，Yf(z) Z[yf(n)]，X(z) Z[x(n)]，H(z) Z[h(n)] 可见，H(z) Yf(z)

X(z)

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称H(z)为离散时间系统的系统函数，它等于系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，同时H(z)与h(n)互为Z变换对。

对于线性时不变离散系统差分方程的一般形式： aky(n k) brx(n r)

k 0r 0NM

在求解H(z)时，考虑到激励x(n)为因果序列，而对应与系统的零状态响应则初始条件为零，因此对上式两边取Z变换，则

akzYf(z) brzX(z)

k 0r 0N k M r

即，Yf(z) akz k X(z) brz r k 0r 0N M

所以，H(z) Yf(z)

X(z) r 0

N

k 0 brzM r kaz k

例1、求差分方程y(n) 0.5y(n 1) 3x(n)所描述的离散系统的系统函数H(z)和单位样值响应h(n)。

解：设系统的初始状态为零，对差分方程两边作Z变换，可得：

Y(z) 0.5z 1Y(z) 3X(z)

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Y(z)3z所以，H(z) (z 0.5) X(z)z 0.5

3z n所以，h(n) Z[H(z)] Z 3(0.5)u(n) z 0.5 1 1

例2、已知某一离散时间系统的单位样值响应为

nh(n) u(n)，设系统的激励输入为x(n) 2u(n)，求系

统的零状态响应yf(n)。

解：因为，yf(n) h(n) x(n)

即，Yf(z) H(z) X(z) z又因，H(z) Z[h(n)] Z[u(n)] (z 1) z 1

z X(z) Z[x(n)] Z[2u(n)] …… 此处隐藏：4853字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……