初等数论试题(练习题)

《初等数论》选修结业试题

班级 姓名； 考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、(0,b) （ ）. A b B

b

C

b

D 0

2、如果ba，ab，则( ). A

a b

B

a b

C

a b

D

a b

3、如果(a,b) 1，则(ab,a b)=（ ）. A a B b C 1 D

a b

4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 6、如果3n，5n，则15（ ）n.

A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 二、计算题（每题10分，共30分） 1、 2、

求[24871,3468]=?

求24871与3468的最大公因数?

3、求[136,221,391]=?

三、证明题（每题10分，共40分） 1、

如果a,b是两个整数,b 0,则存在唯一的整数对q,r,使得a bq r,

其中0 r b. 2、

证明对于任意整数n,数

n3 n

2

2

n

3

6

是整数.

3、

任意一个n位数anan 1 a2a1与其按逆字码排列得到的数

9的倍数.

a1a2 an 1an的差必是

4、

证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

答案

一、单项选择题

C D C A C A 二、计算题 3、

求24871与3468的最大公因数?

解： 24871=3468 7+595

3468=595 5+493 595=493 1+102 493=102 4+85 102=85 1+17 85=17 5,

所以,(24871,3468)=17. 4、

求[24871,3468]=?

解：因为

（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=

24871 3468

17

=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?

解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[ =

136 221

17

,391

]=[1768,391]

1768 391

17

=104 391=40664.

三、证明题 5、

如果a,b是两个整数,b 0,则存在唯一的整数对q,r,使得a bq r,

其中0 r b.

证明 ：首先证明唯一性.设q ,r 是满足条件的另外整数对,即

a bq r ,0 r b

.

.又由于

不可

所以

bq r bq r

,即b q q r r ,

bq q r r

0 r b

,0 r b,所以r r b.如果q q ,则等式bq q r r

能成立. 因此q q ,r

r .

其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

……, 3b, 2b, b,0,b,2b,3b,……

则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使

qb a q 1 b

.

我们设r a qb,则有a bq r,0 r 6、

证明对于任意整数n,数

n3 n

2

b

.

n3

n

2

2

2

n

3

6

是整数.

16

n(n 1)(n 2)

证明： 因为

2

n

3

6

=

n6

(2 3n n)=,

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,

并且(2,3)=1, 所以从2n(n 1)(n 2)和3n(n 1)(n 2)有6n(n 1)(n 2),

即

n3

n

2

2

n

3

6

是整数.

7、

任意一个n位数anan 1 a2a1与其按逆字码排列得到的数

9的倍数.

a1a2 an 1an的差必是

证明： 因为

anan 1 a2a1 an 10a1a2 an 1an=a1 10

n 1

an 1 10

n 2

n 2

a2 10 a1,

n 1

a2 10

an 1 10 an,

所以,anan 1 a2a1-a1a2 an 1an=

an (10

n 1

1) an 1 10(10

n 3

n 3

1) ).

a2 10(1 10) a1(1 10

n 1

而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、

证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

证明: 设相邻两个偶数分别为2n,(2n 2) 所以2n(2n 2)=4n(n 1) 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即4n(n 1)是8的倍数.