直线的倾斜角与斜率

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课

题

直线的倾斜角与斜率

教学目标

掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。

教学内容

一、目标认知1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围； 2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是 时的直线没有斜率；

3.已知直线的倾斜角(或斜率),会求直线的斜率(或倾斜角);

4.掌握经过两点

和

的直线的斜率公式：

(

);

5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.

二、知识要点梳理 知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最 小正角记为 ，则 叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 要点诠释： 1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向；② 轴正向；③小于 的角. ,所以，倾斜角的范围是 .

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角 的范围是 .当 时，直线与轴平行或与轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线 的位置.

知识点二：直线的斜率倾斜角不是 要点诠释： 1.当直线 与 x 轴平行或重合时， 2.直线 与 x 轴垂直时， =0°,k=tan0°=0; 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 .

=90°,k 不存在. 一定存在，但是斜率 k 不一定存在.

由此可知，一条直线 的倾斜角

知识点三：斜率公式

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已知点

、

,且

与 轴不垂直，过两点

、

的直线的斜率公式

.

要点诠释： 1.对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 =90°,直线与 x 轴垂直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关，即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当 y1=y2 时，斜率 k=0,直线的倾斜角 =0°,直线与 x 轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1)由 、 点的坐标求 的值； 中的三个量可求第四个量； 、 的横坐标(或纵坐标)可求 ；

(2)已知 及 (3)已知 及

(4)证明三点共线.

知识点四：两直线平行设两条不重合的直线 ，即 要点诠释： 1.公式 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 的倾斜角都是 ，则 . ;② 不重合； 的斜率分别为 .

因此，若 .若 ，则 ，则 与 的倾斜角 ，则 与 . 相等 . 由 ，可得

.反之，若

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，

知识点五：两直线垂直设两条直线 的斜率分别为 .若

,则

.

例 1.如图，直线 l1 的倾斜角 1 30 ,直线 l1 l2 ,求 l1 、 l 2 的斜率。

解： l1 的斜率 k1 tan 30

3 , 3

l2

l1

∵ l 2 的倾斜角 2 90 30 120 , ∴ l 2 的斜率 k2 tan 2 tan120 3 .

例 2. (1)已知直线 l 的倾斜角的变化范围为 [

, ) ,求该直线斜率的变化范围； 6 3

(2)已知直线 l 的斜率 k [ 1, 3) ,求该直线的倾斜角的范围. 解： (1)∵ [

3 , ) ,∴ tan [ , 3) . 3 6 32

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(2)∵ k tan [ 1, 3) , ∴ [

3 , ) [0, ) . 4 33 3 3 ; (2) cos ; (3) cos 时，分别求直 5 5 5

例 3.已知 和 k 分别是 l 的倾斜角和斜率，当(1) sin 线 l 的斜率 k . 解：当 sin

3 3 时，∵ 0 180 ,∴ k tan . 5 4 3 4 当 cos 时，∵ 0 180 ,∴ 0 90 ,∴ k tan . 5 3当 cos

3 4 时，∵ 0 180 ,∴ 90 180 ,∴ k tan . 5 3

要点诠释： 1.公式 成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，两条直线也垂直.

三、规律方法指导1.由斜率的定义可知，当 直线的斜率小于零；当 率与直线的倾斜角( 在 范围内时，直线的斜率大于零；当 在 范围内时，

时，直线的斜率为零；当 除外)为一一对应关系，且在 和

时，直线的斜率不存在.直线的斜 范围内分别与倾斜角的变 或 范围内比较倾斜角的大小只

化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在

需比较斜率的大小即可，反之亦然. 2.直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方 程的求解等. 3.我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断； 4.判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意； 5.平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.

三：经典例题透析 类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线 的倾斜角的变化范围为 ，求该直线斜率的变化范围；

类型二：斜率定义已知△ABC 为正三角形，顶点 A 在 x 轴上，A 在边 BC 的右侧，∠BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所

在 直线的斜率

类型三：斜率公式的应用求经过点 ， 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

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直线与方程：一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率 2. 直线方程式的 5 种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式(注意用前四种方程的条件及一般式与其它 形式转化的条件) 3.两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系) 4.距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式

练习 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为( A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 )

2.过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为( ) A. x 2 y 7 0 B. 2 x y 1 0 C. x 2 y 5 0 D. 2 x y 5 0 )

3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

xD )

O

x

A B C 4.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=(

2 A. 3

2 B. 3

3 C. 2)

3 D. 2

5.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线的方程是(

A. B.

y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y1 x x1 y2 y1 x1 x2

C.( y2 y1 )( x x1 ) ( x2 x1 )( y y1 ) 0 D.( x2 x1 )( x x1 ) ( y2 y1 )( y y1 ) 06、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( ) L3 A、K1﹤K2﹤K3 L2 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 x o D、K1﹤K3﹤K2 L14

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7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为( A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

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