《相似三角形的判定》教学设计

《相似三角形的判定》教学设计

北京十二中分校 俞京宁

教学目标

1．使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中，初步掌握相似三角形的判定定理，理解它的证明方法，初步会运用相似三角形的三个判定定理来解决有关问题．

2．在探究判定方法的过程中，提高学生运用类比方法，猜想命题，再加以证明的研究问题的能力以及增强用化归思想解决问题的意识．

3．通过动手实践、观察、猜想、归纳、等数学探究活动，给学生创造成功的机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.

教学重点和难点

重点：(1)探索两个三角形相似的条件的过程；

(2)相似三角形判定定理的理解与初步应用。

难点：相似三角形的判定定理的证明．

教学方法：自主探究与小组合作相结合．

教学手段：多媒体辅助教学．

教学过程：

角形模板验证两个三角形是否全等的同时请学生回答他裁 剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.

出示三角

提倡的让学生在“做

形，并思考 中学”这一原则，采 全等依据. 用让学生在动手实践

1.SAS;2.ASA;3.AAS;4.SSS.

中感受新知这一方 式，激发学生的探究 学生 动手裁剪， 欲望；

在此基础上教师要求学生动手剪一个三角形与已知三 角形相似.

学生可能马上利用平行线截一个三角形，教师要求学生 说出这种裁剪方法的依据——预备定理. 在肯定答案的同时 提出， 那么如何判断三角形相似呢？目前你掌握的方法有哪 些？教师提出：判定两三角形相似时，定义的条件过多，预 备定理的使用要求具有局限性， 那么是否还有其它的判定方

说出判定 相似的依 据.

由学 复习三角形判定 的预备定理的同时， 为判定定理的证明奠 1.相 似三角形 判定的预 备定理； 2.定义. 让学生确定研究 定基础.

法呢？本节课我们继续研究： 相似三角形的判定 (二) “你 生回答得 . 认为我们可以从哪儿入手研究呢？” 引导学生类比全等三角 到： 形的判定方法进行猜想.

1.利用投影展示一般三角形全等的判定定理

学生 类比联想， 自主探究 猜想相似 三角形的

方法，有利于培养学 生研究问题的方 法.进一步培养学生 运用类比的方法进行 学习.

(1)ASA:若∠A=∠A’,∠B=∠B’,

,

判定方法：

则有△ABC≌△A’B’C’

(2)AAS:若∠A=∠A’,∠B=∠B’,

,

则有△ABC≌△A’B’C’

(3)SAS:若

,∠A=∠A’,

则有△ABC≌△A’B’C’

多媒体的使用有 利于学生类比猜想出 (4)SSS:若 ， 相似三角形的判定方 法. 则有△ABC≌△A’B’C’

2.猜想相似三角形的判定方法

引导学生利用相似三角形与全等三角形的区别与联系， 把上述全等三角形判定定理中比值为 1 改成比值为正数 k” “ , 就可得到相似三角形的判定方法，得到猜想.

猜想一(类比角边角公理和角角边定理)

ABC 与△A’B’C’中，若∠A=∠A’,∠B=∠B’,

则△ABC∽△A’B’C’.

猜想二(类比边角边公理)

ABC 与△A’B’C’中，若

,∠A=∠A’,

则有△ABC∽△A’B’C’. 学生 猜想三(类比边边边公理) 参考教师 给出的全 等三角形

判定方法 猜想相似 ABC 与△A’B’C’中，若 ， 三角形的 判定方法.

则有△ABC∽△A’B’C’

二、小组合作，探究新知

得到猜想后学生分组动手实践，进一步探究猜想的正确 性.

合作探究后，以猜想 1 为例分析证明思路.

学生 独立思考 并口答.

猜想 1.两角对应相等，两三角形相似.

已知：△ABC 与△A’B’C’中，

∠A=∠A’,∠B=∠B’.

求证：△ABC∽△A’B’C’.

由于证明过程对 学生有一定难度，所 以在学生完成猜想 学生 分析：启发学生结合刚才的动手实践思考，若平移△A’ 以四人小 B’C’得到△ADE,则可转化为预备定理的形式.如何实现 平移是关键，在此可让学生集思广益阐述观点. 组为单位， 共同探究 猜想的证 证明： 明思路. 后，以小组合作的形 式进行证法的探究.

(法一)在 AB 上截取 AD=A’B’,且过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E.

∴∠ADE=∠B,∵∠B=∠B’

∴∠B’=∠ADE 渗透转化的意 又∵∠A=∠A’,AD=A’B’ 识.

∴△ADE≌△A’B’C’(ASA)

又∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC,

∴△ABC∽△A’B’C’ 组内

(法二)截取 AD=A’B’且作∠ADE=∠B’交 AC 于 E. 交流后，请 一名学生 证法：略 口答. 一题多解有助于 训练学生的思维. 师生共同总结实现上述化归的思路.

(1)利用添加辅助线的方法将问题化归为相似三角形 的预备定理(图中，DE∥BC 则△ADE∽△ABC).

(2)利用平移变换将证明三角形相似转化为证明三角 形全等(图中△ADE≌△A’B’C’).

利用上述思路，证明猜想，得到判定定理 1:如果一个 三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等， 那 么这两个三角形相似. 简记： 两角对应相等， 两三角形相似. 不同 证法者上 台交流. 猜想证明完毕， 让学生观察、 对比三个定理的证明方法， 培养学生归纳总 结的能力.

判定定理 2.3 的证明过程由学生仿照定理 1 的证明完 成.请二人上黑板板演.

在证明过程中是否

有共性？证法的本质是什么？让学生深 入思考，感受三个判定定理的证法本质是一样的，即：将相 似三角形的判定利用平移的方法，化归为预备定理的形式， 最终转化为判断两个三角形全等， 区别就在于全等的证明方 法不同.

请学生分别说出三个定理的推理形式.

三、实战演练，巩固新知

例

在△ABC 和△DEF 中，

∠A=40 ,∠B=80 ,∠E=80 ,∠F=60 .

求证：△ABC∽△DEF; 安排学生在合作 练习：依据下列各组条件，判断△ABC 与 交流后板书过程，为 △A’B’C’是不是相似，并说明理由. 后面的证法分析创造 条件. (1)∠A=120 ,AB=7cm,AC=14cm, 除二 ∠A’=120 ,A’B’=3cm,A’C’=6cm; 人板书外， 学生回答理由后， 教师提出： 定理 3 中如果不是 “夹角” 其余人独 ， 结论是否仍然成立，请学生分析并举出反例. 立完成.

(2)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,

学生 比较不同

A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=24cm.

证法的相 同点与不 同点，并归

加强对判定定理 1 的巩固.

思考题：

如图，已知，在△ADC 和△ACB 中,

纳解题思 路.

∠A=∠A,请你添加一个条 件 ,

使△ADC∽△ACB.

加深对定理条件 的理解.

学生 思考后口 答. 四、复习小结，归纳新知 学生自己小结本 节课的知识要点及数 学方法以提高学生的 反例 请学生上 黑板板演. 今天你有什么收获？ 学习能力.

师生共同回忆并总结：

新知的获得采用了什么方法？——类比、转化

你还有困难与困惑吗？ 学生 教师根据学生的回答总结类比学习方法及转化思想的 重要意义. 抢答.

五、作业

1.整理课上定理证明并归纳证明思路；

2.教材 P29. 练习 1、2、3、4(选做)

学生 思考后回 答.

学生 自由发言.

六、板书设计：