Fibonacci数列(斐波那契数列)

Fibonacci数列(斐波那契数列)

1. 提出问题 13世纪初,意大利的数学家 Fibonacci(1170-1250)提出了一个有趣的 问题：如果最初有一对刚出生的小兔，两个 月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一 对(一雌一雄),且出生的小兔都能成活， 则一年后共有多少对兔?

1. 提出问题

1. 提出问题 越往后就越复杂，最后归纳得

数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系： F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1. 由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣， 后来又发现了该数列的更多性质

2.观察Fabonacci数列 为了能直观了解数列的特性，首先计算出 Fabonacci数列的前20项。 Excel法 Matlab法

2.观察Fabonacci数列 Matlab程序 f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end [1:20;f]'

2.观察Fabonacci数列 如何求它的通项呢？(粗略地求) 拟合法 利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合

2.观察Fabonacci数列 利用matlab拟合 直接拟合有点难！ 把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图， 看看有什么规律？取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！

2.观察Fabonacci数列 利用matlab的polyfit(x,y,n)命令拟合得 程序：f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end y=log(f); p=polyfit(x,y,1)

2.观察Fabonacci数列

p 0.4782n 0.7624

Q p ln( f ) f e

p0.4782n

f e

0.4782 n 0.7624

0.4665e

这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？

3.Fibonacci数列的通项公式 数列满足递推关系 fn 2 fn 1 fn ,称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。 猜测：根据前面的观察，可以猜测 f n 具有 n f 指数形式。不妨设为 n 进行尝试。将 n 代入差分方程：

得到

fn 2 fn 1 fn n 2 n 1 n

3.Fibonacci数列的通项公式 消去因子有解得

12

1 5 1 2

1 5 2 2

由此可知这两个都是差分方程的解。

3.Fibonacci数列的通项公式 1 和 2 都是差分方程的解，都是数列 猜测： 的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fn C1 1n C2 2n ,代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！ 因此，差分方程的解为：

1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2

n

n

3.Fibonacci数列的通项公式 根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数

c1 , c2 ,

[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')

3.Fibonacci数列的通项公式 求解得1 C1

5 1 C2 5

因此得Fibonacci数列的通项公式为：n n 1 1 5 1 5 fn 2 2 5

4.自然界中的斐波那契数列 设fn ,则有 gn f n 15 1 lim gn 0.618 , n 2

这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…;